Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 164 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

164 4. Методические указания (контрольная работа № 4)
Ответы: а) x
0
= e — минимум; б) x
1
= 0 и x
2
= 3 — минимум,
x
3
= 2 — максимум, в) нет точек экстремума; г) x = 3 — максимум.
4.9.12. Исследуйте на экстремум следующие функции:
а) f(x, y) = x
4
+ y
4
− 2x
2
+ 4xy −2y
2
;
б) u(x, y, z) = x
2/3
+ y
2/3
+ z
2/3
;
в) u(x, y, z) = x
2
+ y
2
+ z
2
− 4x − 6y −2z;
г) u(x, y) = x
3
y
2
(12 − x − y), x > 0, y > 0.
Ответы: а) M
1
(
√
2,
√
−2) и M
2
(−
√
2,
√
2) — минимумы;
б) (0, 0, 0) — минимум; в) M(2, 3, 1) — минимум; г) M(6, 4) —
максимум.
4.9.13. Исследуйте на условный экстремум следующие функции:
а) z = x
2
− y
2
, если 2x + y = 1;
б) z = x
3
+ 2xy −y
2
− 13x − 1, если x + y = 1;
в) z = 6 − 4x − 3y, если x
2
+ y
2
= 1;
г) z = x
2
+ 12xy + 2y
2
, если 4x
2
+ y
2
= 25;
д) u = xy + yz, если x
2
+ y
2
= 2, y + z = 2;
е) z(x, y) = x · y · z, если x
2
+ y
2
+ z
2
= 1, x + y + z = 0.
Ответы: а) M
1
2
3
, −
1
3
— условный максимум; б) M
1
(−1, 2) —
условный максимум; M
2
(3, −2) — условный минимум; в) M
1
4
5
,
3
5
— условный минимум, M
2
−
4
5
, −
3
5
— условный максимум;
г) M
1
(−2, 3) и M
2
(2, −3) — условный минимум; M
3
−
3
2
, −4
и
M
4
3
2
, 4
— условный максимум; д) M
1
(1, 1, 1) — условный мак-
симум; е) M
1
−
2
√
6
,
1
√
6
,
1
√
6
— условный минимум, имеются ещё
пять точек условного экстремума.
4.9.14. Найдите наибольшее и наименьшее значения данных
функций в указанном множестве:
а) y = x
5
− 5x
4
+ 5x
3
+ 1 на [−1, 2]; б) y =
1 − x + x
2
1 + x − x
2
на [0, 1];
в) y =
p
x(10 − x) на [0, 10].
Ответы: а) 2 и −10; б) 1 и
3
5
; в) 5 и 0.
4.9.15. Найдите соотношение между радиусом R и высотой H
цилиндра, имеющего при данном объёме V наименьшую полную по-
верхность.
Ответ: H = 2R.

Страницы