Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 165 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4.10. Исследование функций 165
4.9.16. Найдите высоту конуса наибольшего объёма, который
можно вписать в шар радиуса R.
Ответ: H =
4
3
R.
4.9.17. Найдите наибольшие и наименьшие значения следующих
функций в указанном множестве:
а) z(x, y) = x
2
− xy + 2y
2
+ 3x + 2y + 1 в треугольнике,
ограниченном осями координат и прямой x + y = 5;
б) z(x, y) = x
2
+ y
2
−xy − x −y в области x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 3;
в) z(x, y) = x
2
+ 2y
2
− 4x − 12 в круге x
2
+ y
2
≤ 100;
г) z(x, y) = x
3
+ y
3
− 9xy + 27 в квадрате 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.
Ответы: а) 1 и 61; б) −1 и 6; в) −16 и 192; г) 20 и 28.
4.9.18. Найдите размеры прямоугольного параллелепипеда за-
данного объёма V , имеющего наименьш ую поверхность.
Ответ: x = y = z =
3
√
V .
4.9.19. Найдите стороны прямоугольного треугольника, имею-
щего при данной площади S наименьший периметр.
Ответ:
√
2s,
√
2s и 2
√
s.
4.9.20. Представьте положительное число a в виде произведения
четырех положительных чисел так, чтобы их сумма была наимень-
шей.
Ответ: все множители равны между собой.
4.10. Исследование функций и построение
графиков (задача 14)
Предлагаем изучить пп. 2.15 — 2.19 и разобрать примеры иссле-
дования функций и построения графиков, приведённые в п. 2.1 9.
Задачи для самостоятельного решения
4.10.1. Проведите полное исследование и постройте графики сле-
дующих функций:
а) y = x
6
− 3x
4
+ 3x
2
− 5; б) y =
3
√
x −
3
√
x + 1;
в) y =
2x
2
x
2
− 4
; г) y = x + ln(x
2
− 1); д) y = x
2
e
1/x
.
Рекомендуется проделать все исследование самостоятельно, а затем
проверить себя, используя пособие И.А. Марона [11].
4.10.2. Постройте графики гиперболических функ ций:
а) y = sh x, б) y = ch x, в) y = th x, г) y = cth x.

Страницы