Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 163 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4.9. Экстремумы 163
Получаем 4 точки: M
1
1
√
2
,
1
√
2
, M
2
1
√
2
, −
1
√
2
,
M
3
−
1
√
2
,
1
√
2
, M
4
−
1
√
2
, −
1
√
2
. При этом z(M
1
) = z(M
4
) = 1,
z(M
2
) = z(M
3
) = −1. Сравнивая значения функции в этих критиче-
ских точках, видим, что наименьшее значение функции достигается
в точках M
2
и M
3
и равно −1, а наибольшее значение достигается в
точках M
1
и M
4
и равно 1.
4.9.9. При каких размерах открытая прямоугольная ванна дан-
ной вместимости V имеет наименьшую поверхность?
Решение. Размеры основания ванны обозначим через x и y, а
высоту — через z. Тогда полная поверхность S(x, y, z) = xy + 2xz+
+2yz. По условию задачи требуется найти наименьшее значение
функции S(x, y, z) при условии, что x · y · z = V (V задано). По
смыслу задачи x > 0, y > 0, z > 0. Составляем функцию Лагранжа
F (x, y, z, λ) = xy + 2xz + 2yz + λ(xyz − V ). Получаем систему
F
′
x
= y + 2z + λyz = 0,
F
′
y
= x + 2z + λxz = 0,
F
′
λ
= 2x + 2y + λxy = 0,
xyz = V,
решая которую, находим единственную критическую точку x = y =
= 2
3
r
V
4
, z =
3
r
V
4
. При этих размерах поверхность ванны будет наи-
меньшей. Доказательство предоставляем читателю.
Задачи для самостоятельного решения
4.9.10. Пользуясь первой производной, найдите точки экстрему-
ма следующих функций:
а) f(x) = x − ln(1 + x
2
); б) f(x) = x
2
3
√
6x − 7;
в) f(x) = x
2/3
+ x
5/3
; г) f(x) = (x − 5)
2
3
p
(x + 1)
2
.
Ответы:
а) нет точек экстремума;
б) x
1
= 0 — точка максимума, x
2
= 1 — точка минимума;
в) x
1
= 0 — точка минимума, x
2
= −
2
5
— точка максимума;
г) x
1
= 5 и x
2
= −1 — минимумы, x
3
=
1
2
— максимум.
4.9.11. Пользуясь производными высших порядков, исследуйте
на экстремум следующие функции:
а) f(x) =
x
ln x
; б) f(x) =
1
4
x
4
−
5
3
x
3
+ 3x
2
;
в) f(x) = e
x
− e
−x
− 2 sin x; г) f(x) = x
3
e
−x
.

Страницы