Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 159 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4.9. Экстремумы 159
Найдём приращение функции z(x, y) при переходе из точки (0, 0)
в точку (0 + ∆x, 0 + ∆y).
∆z = f(0 + ∆x, 0 + ∆y) −f(0, 0) =
= (∆x)
2
−2∆x(∆y)
2
+ (∆y)
4
−(∆y)
5
−0 =
∆x − (∆y)
2
2
−(∆y)
5
.
Положим ∆x = (∆y)
2
, ∆y > 0, получим ∆z = −(∆y)
5
< 0. По-
ложим ∆y = 0, ∆x 6= 0, получим ∆z = (∆x)
2
> 0. Таким образом,
приращение ∆z для различных векторов приращений имеет разные
знаки, следовательно, в точке (0, 0) экстремума нет;
Часто встречаются задачи отыскания экстремума функции
u = f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
), когда независимые переменные связаны неко-
торыми соотношениями (связями)
Φ
1
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = 0,
Φ
2
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = 0,
···············
Φ
m
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = 0, m < n.
Такие экстремумы называют условными. Если данные соотношен ия
удаётся разрешить относительно x
1
, x
2
, . . . , x
m
, то задача на услов-
ный экстремум сводится к задаче на безусловный экстремум неко-
торой функции v = Ψ(x
m+1
, x
m+2
, . . . , x
n
). Если это сделать за-
труднительно, то применяют метод Лагранжа, заключающийся в
следующем. Вводят вспомогательную функцию F (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) =
= f (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) + λ
1
Φ
1
+ λ
2
Φ
2
+ ··· + λ
m
Φ
m
. Точки, в которых
возможен условный экстремум, находят из системы
∂F
∂x
1
= 0,
∂F
∂x
2
= 0, . . .,
∂F
∂x
n
= 0, Φ
1
= 0, Φ
2
= 0, . . . , Φ
m
= 0.
Исследуя знак d
2
F в этих точках, выясняют, действительно ли име-
ется экстремум.
4.9.4. Следующие функции исследуйте на условный экстремум:
а) z(x, y) = x
2
+ y
2
− xy + x + y, если x + y = 3;
б) z(x, y) = 3 − 2x − 4y, если x
2
+ y
2
= 5.
Решение: а) находим y = 3 − x. Функция z(x, y) превращается в
функцию одного переменного z = f(x) = z(x, 3 −x) = x
2
+ (3 −x)
2
−
−x(3 −x) + x + 3 −x = x
2
+ 9 −6x + x
2
−3x + x
2
+ 3 = 3x
2
−9x + 12.
Полученную функцию f (x) = 3x
2
−9x + 12 исследуем на экстремум.
Находим стационарные точки: f
′
(x) = 6x −9, x
0
=
9
6
=
3
2
; f
′′
(x) =
= 6 > 0, следовательно, в точке x
0
=
3
2
функция f(x) имеет мини-
мум. Так как y
0
= 3 −
3
2
=
3
2
, то точка
3
2
,
3
2
является точкой
условного минимума;

Страницы