Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 157 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4.9. Экстремумы 157
x
1
= 1 имеется минимум. При переходе через точку x
2
= 2 произ-
водная меняет знак по схеме (+, −), т.е. в точке x
2
= 2 — максимум.
В точке x
3
= 3 — минимум, так как смена знака происходит по схеме
(−, +);
в) f
′
(x) =
2
3
x
−1/3
−
1
3
(x
2
− 1)
−2/3
2x =
2
3
(x
2
− 1)
2/3
− x
4/3
x
1/3
(x
2
− 1)
2/3
. На-
ходим стационарные точки из условия f
′
(x) = 0, следовательно,
(x
2
− 1)
2/3
= x
4/3
, или (x
2
− 1)
2
= x
4
, x
4
− 2x
2
+ 1 = x
4
, отсю-
да x
1
= −
1
√
2
, x
2
=
1
√
2
. Кроме того, в точках x
3
= 0, x
4
= −1
и x
5
= 1 производная не существует. Таким образом, имеем пять
точек, “подозрительных” на экстремум: −1, −
1
√
2
, 0,
1
√
2
, 1. Поведе-
ние знаков производной при переходе через эти точки изображено
на рисунке 4.2.
В точках x
4,5
= ±1 нет экстре-
Рис. 4.2.
мума, в точках x
1,2
= ±
1
√
2
—
максимум, а в точке x
3
= 0 —
минимум.
4.9.2. Пользуясь производными высших порядков, исследуйте на
экстремум следующие функции:
а) f (x) = x
2
e
−x
; б) f (x) = e
x
+ e
−x
+ 2 cos x.
Решение: а) f
′
(x) = 2xe
−x
− x
2
e
−x
= (2x − x
2
)e
−x
. Из условия
f
′
(x) = (2x − x
2
)e
−x
= 0 находим две стационарные точки: x
1
= 0,
x
2
= 2. Находим вторую производную
f
′′
(x) = (2 − 2x)e
−x
− (2x − x
2
)e
−x
= (2 − 2x − 2x + x
2
)e
−x
=
= (x
2
− 4x + 2)e
−x
.
Так как f
′′
(0) = 2 > 0, то в точке x
1
= 0 — минимум, а так как
f
′′
(2) = (4 − 8 + 2)e
−2
= −2e
−2
< 0, то в точке x
2
= 2 — максимум;
б) находим f
′
(x) = e
x
−e
−x
−2 sin x. Единственной стационарной
точкой, что легко доказать, является точка x = 0.
Вычисляем старшие производные:
f
′′
(x) = e
x
+ e
−x
− 2 cos x, f
′′
(0) = 0,
f
′′′
(x) = e
x
− e
−x
+ 2 sin x, f
′′′
(0) = 0,
f
(4)
(x) = e
x
+ e
−x
+ 2 cos x, f
(4)
(0) = 4 6= 0, f
(4)
(0) > 0.
Так как первой не обратилась в нуль производная четного поряд-
ка, то в точке x = 0 имеется экстремум, а поскольку f
(4)
(0) > 0, то
в точке x = 0 — минимум.
4.9.3. Найдите экстремумы функций:
а) z(x, y) = x
3
+ 3xy
2
− 15x − 12y; б) z(x, y) = x
2
− 2xy
2
+ y
4
− y
5
.

Страницы