Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 155 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4.8. Дифференциал 155
4.8.19. Применяя свойство инвариантности формы записи перво-
го дифференциала, найдите дифференциалы следующих функций:
а) z = f
1
(t), t = sin x;
б) z = f
2
(t), t = x sin y + y cos x;
в) z = f
3
(u, v), u =
1
x
, v =
1
x
2
;
г) z = f
4
(u, v), u = x ·y, v = x/y.
4.8.20. Найдите дифференциалы указанного порядка от следу-
ющих функций: а) y = x ln x, d
3
y;
б) y =
x
2
x − 1
, d
4
y; в) y = x cos 2x, d
10
y.
4.8.21. Найдите дифференциалы второго порядка от следующих
функций:
а) z(x, y) =
p
x
2
+ y
2
; б) u(x, y, z) =
z
x
2
+ y
2
;
в) z(x, y) =
x
y
; г) u(x, y) = (x
3
+ y
3
) − 3xy(x − y).
Ответы: а) d
2
z =
y
2
(dx)
2
− xydxdy + x
2
(dy)
2
(x
2
+ y
2
)
3/2
;
б) d
2
z =
z[(6x
2
− 2y
2
)(dx)
2
+ (6y
2
− 2x
2
)(dy)
2
+ 16xydxdy]
(x
2
+ y
2
)
3
−
−
4xdxdz − 4ydydz
(x
2
+ y
2
)
2
; в) d
2
z =
2
y
3
[x(dy)
2
− ydxdy];
г) d
2
z = 6[(x − y)(dx)
2
+ 2(y − x)dxdy + (y + x)(dy)
2
].
4.8.22. Найдите дифференциалы второго порядка от следующих
функций:
а) z = f (t), t = sin
2
x; б) u = f(t), t =
y
x
;
в) z = f (u, v), u = ax, v = bx;
г) z = f (u, v), u = x + y, v = 2x −y.
Ответы: а) d
2
z = [f
′′
(t)(sin 2x)
2
+ f
′
(t)2 cos 2x](dx)
2
;
б) d
2
z =
f
′′
(t)
y
2
x
4
+
2yf
′
(t)
x
3
(dx)
2
− 2
y
x
3
f
′′
(t) +
f
′
(t)
x
2
dxdy +
+ f
′′
(t)
(dy)
2
x
2
; в) d
2
z =
∂
2
f
∂u
2
a
2
+ 2
∂
2
f
∂u∂v
ab +
∂
2
f
∂v
2
b
2
(dx)
2
; г) d
2
z =
=
∂
2
f
∂u
2
+ 4
∂
2
f
∂u∂v
+ 4
∂
2
f
∂v
2
(dx)
2
+ 2
∂
2
f
∂u
2
+
∂
2
f
∂u∂v
− 2
∂
2
f
∂v
2
dxdy +
+
∂
2
f
∂u
2
− 2
∂
2
f
∂u∂v
+
∂
2
f
∂v
2
(dy)
2
.

Страницы