Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4.3. Частные производные 131
4.3.8. Докажите, что функция z = arctg(y/x) удовлетворяет
уравнению Лапласа
∂
2
z
∂x
2
+
∂
2
z
∂y
2
= 0.
Решение.
∂z
∂x
=
1
1 + (y
2
/x
2
)
·
−
y
x
2
= −
y
x
2
+ y
2
,
∂
2
z
∂x
2
=
2xy
(x
2
+ y
2
)
2
,
∂z
∂y
=
1
1 + (y/x)
2
·
1
x
=
x
x
2
+ y
2
,
∂
2
z
∂y
2
= −
2xy
(x
2
+ y
2
)
2
. Видим, что
∂
2
z
∂x
2
+
∂
2
z
∂y
2
= 0, что и требовалось
доказать.
Задачи для самостоятельного решения
4.3.9. Найдите частные производные первого порядка от следу-
ющих функций:
а) z(x, y) = x
4
y
3
+ 2y ln x;
б) z(x, y) = (sin x)
cos y
+ (cos y)
sin x
;
в) u(x, y, z) = arctg
xy
z
; г) u(x, y, z) = z
x/y
.
4.3.10. Найдите производную матрицу следующих функций:
а) u(x, y) =
sin(x
2
+ y
2
)
cos(x
2
+ y
2
)
; б) u(x, y) =
e
x
tg y
e
y
tg x
.
4.3.11. Найдите частные производные первого порядка от функ-
ции u(x, y, z) = z
p
x
2
+ y
2
+ z
2
и вычислите их значение в точке
M
0
(2, −1, −2).
Ответы:
∂u
∂x
(M
0
) = −
4
3
,
∂u
∂y
(M
0
) =
2
3
,
∂u
∂z
(M
0
) =
13
3
.
4.3.12. Найдите частные производные второго порядка от следу-
ющих функций:
а) z(x, y) = x
2
y
3
+ x
3
y
2
; б) z(x, y) = e
2x−4y
;
в) z(x, y) = sin(x
2
+ y
2
); г) z(x, y) = arcsin(xy).
4.3.13. Найдите частные производные второго порядка и вычис-
лите их значения в указанной точке M
0
от следующих функций:
а) u(x, y, z) = e
x
2
+2y+3z
, M
0
(0, 0, 0);
б) u(x, y, z) =
z
p
x
2
+ y
2
, M
0
(3, −4, 25).
Ответы: а) u
′′
xx
(M
0
) = 2, u
′′
y x
(M
0
) = 0, u
′′
zx
(M
0
) = 0, u
′′
y y
(M
0
) = 4,
u
′′
y z
(M
0
) = 6, u
′′
zz
(M
0
) = 9; б) u
′′
xx
(M
0
) =
2
125
, u
′′
xy
(M
0
) = −
36
125
,
u
′′
zx
(M
0
) = −
3
125
, u
′′
y y
(M
0
) =
23
125
, u
′′
y z
(M
0
) =
4
125
, u
′′
zz
(M
0
) = 0.

Страницы