Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 130 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

130 4. Методические указания (контрольная работа № 4)
Справедлива теорема: если смешанные частные производные су-
ществуют в точке и некоторой её окрестности и непрерывны в ней,
то эти смешанные производные не зависят от порядка дифферен-
цирования, а зависят только от общего числа дифференцирований
по каждому аргументу. Поэтому, если условия теоремы выполнены,
то z
′′
xy
= z
′′
y x
, z
′′′
xxy
= z
′′′
xy x
= z
′′′
y xx
, z
′′′
y yx
= z
′′′
y xy
= z
′′′
xy y
. В этом случае
для смешанных производных третьего порядка вводят обозначения
∂
3
z
∂x
2
∂y
или
∂
3
z
∂y∂x
2
,
∂
3
z
∂y
2
∂x
, или
∂
3
z
∂x∂y
2
. Аналогично можно рассмот-
реть частные производные четвертого порядка, например,
∂
4
z
∂
2
x∂
2
y
,
∂
4
z
∂x
4
,
∂
4
z
∂
3
x∂y
и т. д. Таким же образом можно получить частные про-
изводные высших порядков функций любого числа аргументов.
4.3.6. Найдите частные производные второго порядка от следу-
ющих функций: а) z = e
xy
; б) z = x sin y.
Решение. а)
∂z
∂x
= ye
xy
,
∂z
∂y
= xe
xy
,
∂
2
z
∂x
2
= y
2
e
xy
,
∂
2
z
∂x∂y
=
∂
2
z
∂y∂x
= e
xy
+ yxe
xy
= e
xy
(1 + xy),
∂
2
z
∂y
2
= x
2
e
xy
;
б)
∂z
∂x
= sin y,
∂z
∂y
= x ·cos y,
∂
2
z
∂x
2
= 0,
∂
2
z
∂x∂y
=
∂
2
z
∂y∂x
= cos y,
∂
2
z
∂y
2
= −x sin y.
4.3.7. Найдите частные производные третьего порядка от функ-
ции z = x
5
+ 4x
4
y − 2x
3
y
2
+ 3x
2
y
3
+ y
4
.
Решение.
∂z
∂x
= 5x
4
+ 16x
3
y − 6x
2
y
2
+ 6xy
3
,
∂z
∂y
= 4x
4
−
−4x
3
y + 9x
2
y
2
+ 4y
3
,
∂
2
z
∂x
2
= 20x
3
+ 48x
2
y − 12xy
2
+ 6y
3
,
∂
2
z
∂y∂x
=
∂
2
z
∂x∂y
= 16x
3
− 12x
2
y + 18xy
2
,
∂
2
z
∂y
2
= −4x
3
+ 18x
2
y + 12y
2
,
∂
3
z
∂x
3
= 60x
2
+ 96xy − 12y
2
,
∂
3
z
∂y∂x
2
=
∂
3
z
∂x∂y∂x
=
∂
3
z
∂x
2
∂y
= 48x
2
− 24xy + 18y
2
,
∂
3
z
∂x∂y
2
=
∂
3
z
∂y∂x∂y
=
∂
3
z
∂y
2
∂x
= −12x
2
+ 36xy,
∂
3
z
∂y
3
= 18x
2
+ 24y.

Страницы