Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 128 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

128 4. Методические указания (контрольная работа № 4)
4.3.1. Найдите частные производные
∂z
∂x
и
∂z
∂y
от следующих
функций: а) z =
p
x
2
+ y
2
+ 2xy; б) z = arctg
x
y
+ x
2
;
в) z = e
2x
cos y − e
3y
sin x.
Решение:
а) считая y константой, находим
∂z
∂x
=
1
2
p
x
2
+ y
2
· 2x + 2y =
x
p
x
2
+ y
2
+ 2y.
Полагая x = const, получаем
∂z
∂y
=
y
p
x
2
+ y
2
+ 2x;
б)
∂z
∂x
=
1
1 + (x/y)
2
·
1
y
+ 2x =
y
x
2
+ y
2
+ 2x,
∂z
∂y
=
1
1 + (x/y)
2
·
−
x
y
2
=
−x
x
2
+ y
2
;
в)
∂z
∂x
= 2e
2x
cos y − e
3y
cos x,
∂z
∂y
= −e
2x
sin y −3e
3y
sin x.
4.3.2. Докажите, что функция z = ln(x
2
+y
2
) удовлетворяет урав-
нению y
∂z
∂x
− x
∂z
∂y
= 0.
Решение.
∂z
∂x
=
2x
x
2
+ y
2
,
∂z
∂y
=
2y
x
2
+ y
2
, следовательно,
y
∂z
∂x
− x
∂z
∂y
=
2xy
x
2
+ y
2
−
2yx
x
2
+ y
2
= 0, что и требовалось доказать.
4.3.3. Найдите производную матрицу следующих функций:
а) u =
x
y
+
y
z
; б) u =
h
x sin y
y sin x
i
.
Решение: а) функция u(x, y) отображает некоторое множество
из R
3
в R. Для таких функций производная матрица u
′
имеет вид
u
′
=
∂u
∂x
,
∂u
∂y
,
∂u
∂z
, т. е. u
′
=
1
y
, −
x
y
2
+
1
z
, −
y
z
2
;
б) в этом случае функция u(x, y) отображает некоторое множе-
ство из R
2
в R
2
. Как нам известно и з теории [8, с. 112], производ-
ная матрица для этих функций имеет вид u
′
=
∂f
1
∂x
∂f
1
∂y
∂f
2
∂x
∂f
2
∂y
, где
f
1
(x, y) и f
2
(x, y) — координатные функции. Поэтому
u
′
=
h
sin y x cos y
y cos x sin x
i
.

Страницы