Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4.3. Частные производные 127
4.2.4. Найдите производные порядка n от следующих функций:
а) y = x ln x; б) y =
x
2
x − 1
; в) y = sin 2x cos 4x; г) y =
5x + 22
(x + 4)(x + 5)
.
Ответы: а) y
′
= ln x + 1, y
′′
=
1
x
, y
(n)
=
(−1)
n
(n − 2)!
x
n−1
;
б) y
′
= 1 −
1
(x − 1)
2
, y
(n)
=
(−1)
n
n!
(x − 1)
n+1
; n = 2, 3, 4, . . .;
в)
1
2
n
6
n
sin
6x + n ·
π
2
− 2
n
sin
2x + n ·
π
2
o
;
г)
2(−1)
n
· n!
(x + 4)
n+1
+
3(−1)
n
· n!
(x + 5)
n+1
.
4.2.5. Применяя формулу Лейбница, найдите производные ука-
занного порядка от следующих функций:
а) y = x
2
sin x, найдите y
(10)
; б) y = x ch x, найдите y
(100)
;
в) y = 3
x
· x
2
, найдите y
(20)
;
Ответы: а) −x
2
sin x + 20x cos x + 90 sin x; б) x ch x + 100 sh x;
в) 3
x
x
2
(ln 3)
20
+ 40 · 3
x
· x(ln 3)
19
+ 380(ln 3)
18
3
x
.
4.2.6. Найдите y
′′′
, если:
а) y =
x
3
/6
x
4
/24
x
5
/60
; б) y =
"
sin 2x
cos 2x
x
3
#
;
в) y = (t
3
+ 1)i + (t
2
+ 2)j + sin tk.
Ответы: а) y
′′′
=
1
x
x
2
; б) y
′′′
=
−8 cos 2x
8 sin 2x
6
;
в) y
′′′
= 6i − cos tk.
4.3. Частные производные (задачи 4 и 5)
Предлагается изучить п. 2.5.
Мы уже отмечали, что элементами производной матрицы в слу-
чае функций векторного аргумента (функций многих скалярных ар-
гументов) являются частные производные — производные по одно-
му из аргументов при фиксированных всех остальных. Чтобы найти
частную производную
∂z
∂x
от функции z(x, y), нужно взять производ-
ную по x, считая аргумент y константой. Напомним, что производная
константы равна нулю и что константу-сомножитель можно выно-
сить за знак производной. Аналогично находят
∂z
∂y
, считая аргумент
x константой.

Страницы