Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4.2. Производная высших порядков 125
4.1.16. Найдите производные следующих функций:
а) y(x) =
√
x + 1 − ln(1 +
√
x + 1);
б) y(x) = arctg
x
1 +
√
1 − x
2
;
в) y(x) =
arcsin x
√
1 − x
2
+
1
2
ln
1 − x
1 + x
; г) y(x) = arctg(x +
√
1 + x
2
).
Ответы: а)
1
2(1 +
√
x + 1)
; б)
1
2
√
1 − x
2
; в)
x arcsin x
(1 − x
2
)
3/2
;
г)
1
2(1 + x
2
)
.
4.2. Производная высших порядков функций
одного аргумента (задачи 2 и 3)
Предлагается изучить п. 2.5.
Производную y
′
(x) функции y(x) иногда называют производной
первого порядка. Производная y
′
(x) сама является функцией от x,
от неё также можно взять производную [y
′
(x)]
′
, обозначаемую y
′′
(x)
и называемую второй производной, или производной второго поряд-
ка. Аналогично м ожно получить производную любого порядка n. Её
обозначают y
(n)
(x).
Используя таблицу производных и метод математической индук-
ции, легко доказать справедливость следующих формул:
(a
x
)
(n)
= a
x
(ln a)
n
; (а)
1
ax + b
(n)
=
(−1)
n
n!a
n
(ax + b)
n+1
; (б)
(sin x)
(n)
= sin
x + n ·
π
2
; (в)
(cos x)
(n)
= cos
x + n ·
π
2
. (г)
4.2.1. Найдите производные второго порядка от следующих
функций:
а) y = (1 + x
2
) arctg x; б) y =
√
1 − x
2
arcsin x;
в) y = ln(x +
√
9 + x
2
); г) y = e
√
x
.
Решение: а) y
′
(x) = 2x arctg x +
1 + x
2
1 + x
2
= 2x arctg x + 1,
y
′′
(x) = 2 arctg x +
2x
1 + x
2
;

Страницы