Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4.1. Техника дифференцирования функций 123
Решение: а) чтобы найти производную от f(x), нужно найти про-
изводные от координатных функций. Поэтому
f
′
(x) =
(sin
3
x
2
)
′
(x
3
)
′
1 + x
1 − x
′
=
3 sin
2
x
2
cos x
2
· 2x
3x
2
(1 − x) − (1 + x)(−1)
(1 − x)
2
=
=
3 sin
2
x
2
cos x
2
· 2x
3x
2
2
(1 − x)
2
;
б)f
′
(x) =
(x
2
)
′
(2
x
)
′
(tg
4
x
3
)
′
=
2x
2
x
ln 2
4 tg
3
x
3
·
3x
2
cos
2
x
3
.
Часто подобные функции записывают в виде a(t) = f
1
(t)i + f
2
(t)j+
+f
3
(t)k. Тогда a
′
(t) = f
′
1
(t)i + f
′
2
(t)j + f
′
3
(t)k. Например, если a(t) =
= sin ti + cos tj + tk, то a
′
(t) = cos ti − sin tj + k.
Задачи для самостоятельного решения
4.1.9. Найдите производную данной функции и вычислите зна-
чение производной в точке x
0
= 1:
а) y(x) = 4x
7/3
+ 5x
5/2
+
√
x + 1;
б) y(x) =
3
x
3
√
x
2
+
8
x
2
4
√
x
3
+ 2;
в) y(x) = 2x
3
√
x
3
+ 3x
2
3
√
x
5
+ 3.
Ответы: а) 67/3; б) −27; в) 20.
4.1.10. Найдите производную y
′
(x) данной функции и вычислите
значение производной в точке x
0
:
а) y = (x
2
+ 2x + 2) arcsin(0,5 + x), x
0
= 0;
б) y = x
4
arctg 2x; x
0
=
1
2
; в) y =
1 + sin 2x
3 + 4x
, x
0
= 0;
г) y =
cos x + sin x
3 − cos x
, x
0
=
π
2
; д) y = e
2x
(cos x + 2 sin x), x
0
= 0.
Ответы: а) (π/3) + 4/
√
3; б) (2π + 1)/16; в) 2/9; г) −4/9; д) 4.
4.1.11. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функ-
ции, найдите производные от следующих функций и вычислите их
значение в указанной точке:
а) y(x) = (x
4
+ 3x
2
+ 2x + 3)
20
, x
0
= 0;
б) y(x) =
√
2 sin
5
2x; x
0
=
π
8
; в) y(x) = ln cos 4x, x
0
=
π
12
;

Страницы