Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

122 4. Методические указания (контрольная работа № 4)
в) y
′
=
1
2
(e
3x
+ 2
4x
+ 3)
−1/2
(e
3x
· 3 + 2
4x
· ln 2 · 4) + 3 ln
2
2x ·
1
2x
· 2;
г) y
′
=
1
1 + (ln x)
2
·
1
x
+
1
arctg x
·
1
1 + x
2
.
Если требуется продифференцировать произведение и частное с
большим числом сомножителей, то иногда выгодно функцию пред-
варительно прологарифмировать.
4.1.6. Найдите производную функции
y =
3
√
1 + sin x · (1 + x
2
)
3
p
1 + tg
2
x ·
5
√
4 − x
.
Решение. ln |y| =
1
3
ln |1 + sin x| + ln(1 + x
2
) −
1
3
ln(1 + tg
2
x)−
−
1
5
ln |4 − x|. Выполним дифференцирование:
y
′
y
=
cos x
3(1 + sin x)
+
2x
1 + x
2
−
2 tg x
3(1 + tg
2
x)
·
1
cos
2
x
−
1
5
·
−1
4 − x
.
Следовательно, y
′
=
3
√
1 + sin x · (1 + x
2
)
3
p
1 + tg
2
x
5
√
4 − x
cos x
3(1 + sin x)
+
+
2x
1 + x
2
−
2 tg x
3(1 + tg
2
x) cos
2
x
+
1
5(4 − x)
.
Продифференцировать степенно-показательную функцию y =
= u(x)
v ( x)
, u(x) > 0, можно либо прологарифмировав её, либо ис-
пользуя логарифмическое тождество y = e
v ( x) ln u(x)
. В результате по-
лучим
y
′
= u(x)
v ( x)
[v(x) ln u(x)]
′
= u(x)
v ( x)
v
′
(x) ln u(x) +
v(x) · u
′
(x)
u(x)
.
4.1.7. Найдите производную от функции y = (sin
2
x)
cos 3x
.
Решение. Используя логарифмическое тождество, можем запи-
сать y = e
cos 3x·ln sin
2
x
. Находим y
′
= e
cos 3x·ln sin
2
x
×
×
−3 sin 3x · ln sin
2
x + cos 3x ·
2 sin x cos x
sin
2
x
=
= (sin
2
x)
cos 3x
· (−3 sin 3x ln sin
2
x + 2 cos 3x · ctg x).
4.1.8. Найдите производные следующих векторных функций од-
ного скалярного аргумента:
а)f(x) =
sin
3
x
2
x
3
1 + x
1 − x
; б)f(x) =
"
x
2
2
x
tg
4
x
3
#
.

Страницы