Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

124 4. Методические указания (контрольная работа № 4)
г) y(x) = 3
tg 2x
, x
0
=
π
8
; д) y(x) = (arcctg
√
x)
2
, x
0
= 1;
е) y(x) =
arcsin
1 + x
1 − x
2
, x
0
= −1/3;
ж) y(x) = cos
3
1
√
x
, x
0
= 1; з) y(x) = ln ln ln x, x
0
= e
2
;
и) y(x) =
arccos
x
x + 2
4
, x
0
= 0.
Ответы: а) 40 ·3
19
; б) 5/2; в) −4
√
3; г) 12 ln 3; д) −π/8; е )
√
3π/4;
ж) (3/2) cos
2
1 sin 1; з) 1/(2e
2
ln 2); и) −π
3
/4.
4.1.12. Найдите производные следующих функций, предвари-
тельно их прологарифмировав:
а) y(x) =
√
x − 1
3
p
(x + 2)
4
p
(x + 3)
5
;
б) y(x) = e
x
· sin 2x · cos 3x · tg 5x.
Ответы:
а) y
′
=
√
x − 1
3
p
(x + 2)
4
p
(x + 3)
5
1
2(x − 1)
−
4
3(x + 2)
−
5
2(x + 3)
;
б) y
′
= e
x
·sin 2x·cos 3x·tg 5x
1 + 2 ctg 2x − 3 tg 3x +
5
tg 5x
·
1
cos
2
5x
.
4.1.13. Найдите производные следующих степенно-показатель-
ных функций:
а) y = (ln x)
3
√
x
; б) y = (
√
x)
x
; в) y =
x
√
x
2
+ 1.
Ответы: а) (ln x)
3
√
x
ln ln x
3
3
√
x
2
+
3
√
x
1
x ln x
;
б) (
√
x)
x
1
2
ln x +
1
2
; в)
x
√
x
2
+ 1
2
x
2
+ 1
−
ln(x
2
+ 1)
x
2
.
4.1.14. Докажите, что функция y(x) =
x − e
−x
2
2x
2
удовлетворяет
дифференциальному уравнению xy
′
+ 2y = e
−x
2
+
1
2x
.
4.1.15. Найдите производные следующ их функций, содержащих
гиперболические функции:
а) f(x) = sh
x
2
+ ch
x
2
; б) f(x) = ln ch x;
в) f(x) = arcsin(th x); г) f(x) =
p
1 + sh
2
4x.
Ответы: а)
1
2
sh
x
2
+ ch
x
2
=
1
2
e
x/2
; б) th x; в)
1
ch x
; г) 4 sh 4x.

Страницы