Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

126 4. Методические указания (контрольная работа № 4)
б) y
′
(x) =
−2x
2
√
1 − x
2
arcsin x +
p
1 − x
2
·
1
√
1 − x
2
=
−x arcsin x
√
1 − x
2
+ 1,
y
′′
(x) = (−
1
√
1 − x
2
−
x
2
p
(1 − x
2
)
3
) arcsin x −
x
1 − x
2
=
= −
arcsin x
p
(1 − x
2
)
3
−
x
1 − x
2
;
в) y
′
= [ln(x +
√
9 + x
2
)]
′
=
1 +
x
√
9 + x
2
x +
√
9 + x
2
=
1
√
9 + x
2
,
y
′′
(x) = [(9 + x
2
)
−1/2
]
′
= −
1
2
(9 + x
2
)
−3/2
· 2x = −
x
(
√
9 + x
2
)
3
;
г) y
′
= (e
√
x
)
′
=
1
2
√
x
e
√
x
,
y
′′
= −
1
4
√
x
3
e
√
x
+
1
4x
e
√
x
=
e
√
x
4x
1 −
1
√
x
=
e
√
x
4x
√
x
(
√
x − 1).
4.2.2. Найдите производные n-го порядка от следующих функ-
ций: а) y = 2
3x
; б) y = sin 3x · sin 5x; в) y =
3x + 2
4x + 5
.
Решение: а) y
′
= 2
3x
ln 2 · 3, y
′′
= 2
3x
(ln 2)
2
· 3
2
, . . . , y
(n)
=
= 2
3x
(ln 2)
n
· 3
n
(применили формулу (а));
б) y = sin 3x · sin 5x =
1
2
(cos 2x − cos 8x), поэтому y
(n)
=
=
1
2
h
2
n
cos
2x + n
π
2
− 8
n
cos
8x + n
π
2
i
(см. формулу(г));
в) чтобы применить формулу (б), преобразуем выражение для
функции y(x) =
3x + 2
4x + 5
=
3
4
−
7
4(4x + 5)
(выполнили деление по
правилу деления многочленов). Применяя формулу (б), получаем
y
(n)
= −
7(−1)
n
n!4
n
4(4x + 5)
n+1
=
7(−1)
n+1
4
n−1
(4x + 5)
n+1
.
Задачи для самостоятельного решения
4.2.3. Найдите производные второго порядка от следующих
функций: а) f(x) =
1
12
ln
2 + 3x
2 − 3x
; б) f(x) =
1
3
arcsin
3
4
x;
в) f(x) =
1
6
arctg
3
2
x.
Ответы: а)
18x
(4 − 9x
2
)
2
; б)
9x
p
(16 − 9x
2
)
3
; в)
−18x
(4 + 9x
2
)
2
.

Страницы