Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4.1. Техника дифференцирования функций 121
4.1.4. Пользуясь правилами дифференцирования сложной функ-
ции, найдите производную следующих функций:
а) y = cos
5
x; б) y = ln sin x; в) y = 5
tg x
;
г) y = ln cos(x
4
+ 2); д) y = arccos
√
1 −x
2
;
е) y = (arctg 2x)
3
; ж) y = sin
3
1
√
x
.
Решение: а) обозначим u(x) = cos x. Тогда y = u
5
. По первой
формуле в таблице производных находим
y
′
= 5u
4
· u
′
x
= 5 cos
4
x(cos x)
′
= 5 cos
4
x(−sin x);
б) обозначим u(x) = sin x, тогда y = ln u. По третьей формуле в
таблице производных находи м
y
′
=
1
u
· u
′
=
1
sin x
· (sin x)
′
=
cos x
sin x
= tg x.
Приобретя некоторый опыт, эти замены нужно делать мысленно,
не записывая их;
в)(5
tg x
)
′
= 5
tg x
·
ln 5
cos
2
x
. (Здесь u(x) = tg x, u
′
(x) =
1
cos
2
x
);
г)
ln cos(x
4
+ 2)
′
=
−sin(x
4
+ 2)
cos(x
4
+ 2)
· 4x
3
;
д) (arccos
√
1 −x
2
)
′
= −
1
q
1 −(
√
1 −x
2
)
2
·
−2x
2
√
1 −x
2
=
=
1
√
x
2
·
x
√
1 −x
2
=
x
|x|
√
1 −x
2
= ±
1
√
1 −x
2
;
е)
(arctg 2x)
3
′
= 3(arctg 2x)
2
·
1
1 + (2x)
2
· 2;
ж)
sin
3
1
√
x
′
= 3 sin
2
1
√
x
· cos
1
√
x
·
−
1
2
√
x
3
.
Вы заметили, что функция u(x) сама может быть сложной функ-
цией. От неё находить производную нужно по тем же табличным
формулам.
4.1.5. Найдите производные следующих функций:
а) y = (2 + 5x
2
+ 4x
3
)
10
; б) y =
4
√
sin
3
2x +
1
cos
4
3x
;
в) y =
√
e
3x
+ 2
4x
+ 3 + ln
3
2x; г)y = arctg ln x + ln arctg x.
Решение. а)
(2 + 5x
2
+ 4x
3
)
10
′
= 10(2 + 5x
2
+ 4x
3
)
9
(10x + 12x
2
);
б) y
′
= (sin
3/4
2x + cos
−4
3x)
′
=
3
4
sin
−1/4
2x · cos 2x · 2−
−4 cos
−5
3x(−sin 3x) · 3 =
3 cos 2x
2
4
√
sin 2x
+
12 sin 3x
cos
5
3x
;

Страницы