Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

120 4. Методические указания (контрольная работа № 4)
Решение: а) применяем правило дифференцирования произве-
дения (формулу (в)). Получаем y
′
= (x
3
)
′
arcsin x + x
3
(arcsin x)
′
=
= 3x
2
arcsin x +
x
3
√
1 − x
2
. Такие подробные записи делать впредь не
рекомендуем, следует сразу применять соответствующие формулы;
б) y
′
= 2x arctg x +
x
2
+ 1
x
2
+ 1
= 2x arctg x + 1;
в) применяем формулу (г) — правило дифференцирования част-
ного:
y
′
=
(sin x − cos x)
′
(sin x + cos x) − (sin x + cos x)
′
(sin x − cos x)
(sin x + cos x)
2
=
=
(cos x + sin x)(sin x + cos x) − (cos x − sin x)(sin x − cos x)
(sin x + cos x)
2
=
=
sin
2
x + cos
2
x + 2 sin x cos x + sin
2
x − 2 sin x cos x + cos
2
x
(sin x + cos x)
2
=
=
2
(sin x + cos x)
2
;
г) y =
x + x
1/2
x − 2x
1/3
,
y
′
=
1 +
1
2
x
−1/2
(x − 2x
1/3
) − (x + x
1/2
)
1 −
2
3
x
−2/3
(x − 2x
1/3
)
2
.
Последнее выражение можно несколько упростить, но мы этого де-
лать не будем.
4.1.3. Найдите производные и вычислите их значение в указан-
ной точке:
а) y = 3 −
3
√
x
5
+
64
x
, x
0
= −2
√
2; б) y =
sin t
1 − cos t
, t =
π
3
.
Решение. а) y
′
= (3 −x
5/3
+ 64x
−1
)
′
= −
5
3
x
2/3
− 64x
−2
=
= −
5
3
3
√
x
2
−
64
x
2
, y
′
(−2
√
2) = −
5
3
3
√
8 −
64
8
= −
10
3
− 8 = −
34
3
;
б) y
′
=
cos t(1 − cos t) − sin t sin t
(1 − cos t)
2
=
cos t − cos
2
t − sin
2
t
(1 − cos t)
2
=
=
cos t − 1
(1 − cos t)
2
=
−1
1 − cos t
, y
′
π
3
=
−1
1 − 1/2
= −2.

Страницы