Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4. Методические указания
(контрольная работа № 4)
4.1. Техника дифференцирования функций
одного аргумента (задачи 1, а, б, в)
Необходимо изучить пп. 2.1, 2.2, 2.3.
Процесс отыскания производной матрицы называют дифферен-
цированием. Как следует из теории, элементами производной матри-
цы являются либо производные f
′
x
=
df
dx
скалярной функции одного
скалярного аргумента, либо частные производные
∂f
∂x
1
,
∂f
∂x
2
, . . . ,
∂f
∂x
n
скалярной функции векторного аргумента. Надо научиться находить
эти производные.
Укажем правила отыскания производных. Особенно часто при-
меняется правило дифференцирования композиции отображений
(сложной функции): если функция u(x) дифференцируема в точ-
ке x
0
, а функция f(u) дифференцируема в соответствующей точке
y
0
= u(x
0
), то сложная функция f[u(x)] дифференцируема в точке
x
0
и при этом
{f[u(x)]}
′
= f
′
u
(u) · u
′
x
(x). (а)
Функция u(x) сама может быть сложной функцией от x:
u = u [t(x)], и тогда {f [u (t(x))]}
′
= f
′
u
(u) · u
′
t
(t) · t
′
x
(x). Функция t(x)
также может быть сложной функцией от x: t[v(x)], и тогда f
′
x
(x) =
= f
′
u
(u) · u
′
t
(t) · t
′
v
(v) · v
′
x
(x) и т.д.
Напомним также правила дифференцирования суммы, произве-
дения и частного. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы, то
дифференцируемы и функции u(x) + v(x), u(x) ·v(x),
u(x)
v(x)
(в послед-
нем случае v(x) 6= 0) и справедливы формулы:
[u(x) + v(x)]
′
= u
′
(x) + v
′
(x); (б)
[u(x) · v(x)]
′
= u
′
(x) · v(x) + u(x) · v
′
(x)]; (в)
u(x)
v(x)
′
=
u
′
(x) · v(x) − u(x) · v
′
(x)
[v(x)]
2
. (г)
Произведение и частное определены только для скалярных функций.
Поэтому формулы (в) и (г) имеют смысл только для такого вида
функций. Так как C
′
= 0, где C — константа, то из формулы (в)
следует правило
[C ·v(x)]
′
= C · v
′
(x), (д)
т.е. константу можно выносить за знак производной.

Страницы