Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

116 3. Методические указания (контрольная работа № 3)
f
1
(2 − 0) = lim
x→2−0
−
(x − 2)(x + 2)
x(x − 2)
+
e
x
− e
4
x − 4
= −2 +
e
2
− e
4
−2
,
так как |x − 2| = −(x − 2) при x < 2. Поскольку f
1
(2 + 0) 6= f
1
(2 − 0),
то в точке x
2
= 2 разрыв первого рода;
f
1
(4 ± 0) = lim
x→4±0
(x
2
− 4)
x|x − 2|
+
e
4
(e
x−4
− 1)
x − 4
=
3
2
+ e
4
,
следовательно, в точке x
3
= 4 устранимый разрыв.
Для функции f
2
(x) только в точках x
1
= −4, x
2
= 0, x
3
= 1,
x
4
= 3 возможен разрыв. Исследуем эти точки.
f
2
(−4 ± 0) = lim
x→−4±0
tg x
x
2
− 16
= ∞,
следовательно, в точке x
1
= −4 разрыв второго рода;
f
2
(0 − 0) = lim
x→0−0
tg x
x
2
− 16
= 0,
f
2
(0 + 0) = lim
x→0+0
sin(x − 3)
x
2
− 4x + 3
= −
sin 3
3
,
т. е. в точке x
2
= 0 разрыв первого рода;
f
2
(1 ± 0) = lim
x→1±0
sin(x − 3)
(x − 1)(x − 3)
= ∞,
в точке x
3
= 1 также разрыв второго рода;
f
2
(3 ± 0) = lim
x→3±0
sin(x − 3)
(x − 1)(x − 3)
=
1
2
,
следовательно, в точке x
4
= 3 имеем устранимый разрыв.
Задачи для самостоятельного решения
3.8.6. Исходя из определения, докажите непрерывность следую-
щих функций:
а) f(x) = x
2
+ 3x + 1 при любом x; б) f(x) = x
3
при любом x.
3.8.7. Используя теоремы о непрерывности суммы, произведе-
ния и частного, докажите непрерывность при любом x следующих
функций:
а) f
1
(x) =
sin x + arctg 2x
x
2
+ 1
; б) f
2
(x) =
cos x + x
2
2
x
+ 4
.
3.8.8. Охарактеризуйте указанную точку x
0
для функций:
а) f (x) =
arcsin(x − 1)
|x
2
− 1|
, x
0
= 1; б) f(x) =
arcsin(x − 1)
x
2
− 1
, x
0
= 1;
в) f(x) =
arcsin
x − 1
3
x
2
− 1
, x
0
= −1.
Ответы: а) 1-го рода; б) устранимый; в) 2-го рода.

Страницы