Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 115 стр.

UptoLike

3.8. Непрерывность функции 115
один из односторонних пределов обращается в , то точка x
0
= 0
точка разрыва второго рода.
Если в точке x
0
функция определена, то вводят понятие односто-
ронней непрерывности. Если окажется f(x
0
0) = f(x
0
), то функцию
называют непрерывной в точке x
0
слева, если же f (x
0
+ 0) = f(x
0
),
то функцию называют непрерывной в точке x
0
справа. Например,
функция ϕ(x) =
2
1
x1
, если x 6= 1,
0, если x = 1
непрерывна в точке x
0
= 1
слева, но разрывна справа.
3.8.4. Охарактеризуйте точку x
0
= 1 для функции
f(x) =
x + 2
x
2
4
, если x 1,
x + 4
x
2
16
, если x > 1.
Решение. Находим односторонние пределы при x 1 ± 0:
f(1 0) = lim
x10
f(x) = lim
x1
x + 2
x
2
4
=
3
3
= 1;
f(1 + 0) = lim
x1+0
f(x) = lim
x1
x + 4
x
2
16
=
5
15
=
1
3
.
Так как левый и правый пределы существуют, конечны, но неравны,
то точка x
0
= 1 является точкой разрыва первого рода.
3.8.5. Найдите все точки разрыва и охарактеризуйте их для сле-
дующих функций:
f
1
(x) =
x
2
4
x
p
(x 2)
2
+
e
x
e
4
x 4
;
f
2
(x) =
tg x
x
2
16
, при x 0,
sin(x 3)
x
2
4x + 3
, при x > 0.
Решение. Заметим, что частное от деления двух непрерывных
функций может иметь разрыв только в тех точках, в которых зна-
менатель обращается в нуль. Такими точками для функции f
1
(x)
являются x
1
= 0, x
2
= 2 и x
3
= 4. Исследуем эти точки.
f
1
(0 ± 0) = lim
x0±0
x
2
4
x|x 2|
+
e
x
e
4
x 4
= ∓∞,
следовательно, в точке x
1
= 0 разрыв второго рода;
f
1
(2 + 0) = lim
x2+0
(x 2)(x + 2)
x(x 2)
+
e
x
e
4
x 4
= 2 +
e
2
e
4
2
,
так как |x 2| = (x 2) при x > 2;