Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

114 3. Методические указания (контрольная работа № 3)
3.8. Непрерывность функции. Классификация
разрывов функции (задачи 6, а, б)
Рекомендуется изучить п. 1.6.
Задача характеристики точек разрыва сводится к отысканию од-
носторонних пределов или доказательству, что хотя бы один из них
не существует.
3.8.1. Охарактеризуйте точку x = 2 для функции f(x) =
x
2
− 4
|x − 2|
.
Решение. Данная функция имеет область определения (−∞, 2)∪
∪(2, +∞). Точка x
0
= 2 является предельной для области определе-
ния, в самой точке x
0
= 2 функция не определена.
Вычисляем односторонние пределы:
f(2 + 0) = lim
x→2+0
x
2
− 4
|x − 2|
= lim
x→2+0
(x − 2)(x + 2)
x − 2
= 4,
поскольку при x > 2 величина |x −2| = x − 2;
f(2 − 0) = lim
x→2−0
x
2
− 4
|x − 2|
= lim
x→2−0
(x − 2)(x + 2)
−(x − 2)
= −4,
так как если x < 2, то |x − 2| = −(x − 2).
Как видим, существуют конечные правый и левый пределы, не
равные между собой. Поэтому точка x
0
= 2 является точкой разрыва
первого рода.
3.8.2. Охарактеризуйте точку x
0
= 0 функции
f(x) =
√
1 − cos 2x
x
.
Решение. Точка x = 0 является предельной для области определе-
ния f(x). Находим f(0 + 0) = lim
x→0+0
√
1 − cos 2x
x
= lim
x→0+0
√
2 sin
2
x
x
=
= lim
x→0+0
√
2|sin x|
x
= lim
x→0+0
√
2 sin x
x
=
√
2. Заметим, что |sin x| =
= sin x, если 0 < x < (π/2);
f(0 − 0) = lim
x→0−0
√
1 − cos 2x
x
= lim
x→0−0
−
√
2 sin x
x
= −
√
2,
так как |sin x| = −sin x, если −π/2 < x < 0. Поскольку f(0 + 0) и
f(0−0) существуют и конечны, но f(0+0) 6= f(0−0), то точка x
0
= 0
является точкой разрыва первого рода.
3.8.3. Охарактеризуйте точку x
0
= 1 для функции f(x) = 2
1
x−1
.
Решение. f(1 − 0) = lim
x→1−0
2
1
x−1
= lim
t→−∞
2
t
= 0 (сделали заме-
ну
1
x − 1
= t, когда x → 1 − 0, t → −∞); f(1 + 0) = lim
x→1+0
2
1
x−1
=
= lim
t→+∞
2
t
= +∞ (та же замена, но при x → 1 + 0, t → +∞). Так как

Страницы