Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4.1. Техника дифференцирования функций 119
Пусть u = u(x) — произвольная дифференцируемая функция.
Запишем таблицу производных, которую следует запомнить:
1) [u
α
(x)]
′
= αu(x)
α−1
· u
′
(x);
2) [a
u(x)
]
′
= a
u(x)
ln a · u
′
(x), [e
u(x)
]
′
= e
u(x)
· u
′
(x);
3) [log
a
|u(x)|]
′
=
u
′
(x)
u(x) ln a
=
log
a
e
u(x)
· u
′
(x), [ln |u(x)|]
′
=
u
′
(x)
u(x)
;
4) [sin u(x)]
′
= u
′
(x) · cos u(x); 5) [cos u(x)]
′
= −u
′
(x) · sin u(x);
6) [tg u(x)]
′
=
u
′
(x)
cos
2
u(x)
; 7) [ctg u(x)]
′
= −
u
′
(x)
sin
2
u(x)
;
8) [sh u(x)]
′
= u
′
(x) · ch u(x); 9) [ch u(x)]
′
= u
′
(x) · sh u(x);
10) [th u(x)]
′
=
u
′
(x)
ch
2
u(x)
; 11) [cth u(x)]
′
= −
u
′
(x)
sh
2
u(x)
;
12) [arcsin u(x)]
′
=
u
′
(x)
p
1 − u
2
(x)
;
13) [arccos u(x)]
′
= −
u
′
(x)
p
1 − u
2
(x)
;
14) [arctg u(x)]
′
=
u
′
(x)
1 + u
2
(x)
; 15) [arcctg u(x)]
′
= −
u
′
(x)
1 + u
2
(x)
.
4.1.1. Найдите y
′
(x), если:
а) y(x) = 2x
3/4
− 4x
7/5
+ 3x
−2
;
б) y(x) =
a
4
√
x
5
−
b
x
3
√
x
(a и b — постоянные).
Решение: а) применяя правило дифференцирования суммы, сте-
пенной функции, а также формулу (д), получаем
y
′
= 2 ·
3
4
x
(3/4)−1
− 4 ·
7
5
x
(7/5)−1
+ 3(−2) · x
−2−1
=
3
2
· x
−1/4
−
−
28
5
x
2/5
− 6x
−3
=
3
2
4
√
x
−
28
5
5
√
x
2
−
6
x
3
;
б) в подобных случаях удобнее освободиться от радикалов и за-
писать y = ax
−5/4
− bx
−4/3
, а затем находить производную
y
′
= −
5
4
ax
(−5/4)−1
+
4
3
bx
(−4/3)−1
= −
5
4
ax
−9/4
+
4
3
bx
−7/3
=
= −
5a
4x
2
4
√
x
+
4b
3x
2
3
√
x
.
4.1.2. Найдите y
′
(x), если:
а) y(x) = x
3
arcsin x; б) y = (x
2
+ 1) arctg x;
в) y =
sin x − cos x
sin x + cos x
; г) y =
x +
√
x
x − 2
3
√
x
.

Страницы