Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4.3. Частные производные 129
4.3.4. Найдите частные производные от функции
z = (sin
2
x)
cos
2
y
.
Решение. Используя правило дифференцирования степенной
функции, если y — константа, и показательной, если x — константа,
получаем
∂z
∂x
= cos
2
y(sin
2
x)
cos
2
y −1
· 2 sin x cos x,
∂z
∂y
= (sin
2
x)
cos
2
y
· ln sin
2
x · 2 cos y(−sin y).
4.3.5. Найдите частные производные
∂u
∂x
,
∂u
∂y
,
∂u
∂z
от функции
u =
y
p
x
2
+ y
2
+ z
2
и вычислите их значения в точке M
0
(1, 2, 2).
Решение. Считая аргументы y и z константами, находим
∂u
∂x
=
∂
∂x
h
y(x
2
+ y
2
+ z
2
)
−1/2
i
= −
1
2
y(x
2
+ y
2
+ z
2
)
−3/2
· 2x =
=
−xy
p
(x
2
+ y
2
+ z
2
)
3
,
∂u
∂x
(1, 2, 2) =
−2
√
9
3
= −
2
27
. Далее, полагая x и z
константами, получаем
∂u
∂y
= (x
2
+ y
2
+ z
2
)
−1/2
−
y
2
p
(x
2
+ y
2
+ z
2
)
3
=
x
2
+ z
2
p
(x
2
+ y
2
+ z
2
)
3
,
∂u
∂y
(1, 2, 2) =
1 + 2
2
√
9
3
=
5
27
.
Аналогично находим
∂u
∂z
= −
yz
p
(x
2
+ y
2
+ z
2
)
3
;
∂u
∂z
(1, 2, 2) = −
4
27
.
Вы заметили, что частные производные
∂z
∂x
и
∂z
∂y
(их называют
частными производными первого порядка) от функции z(x, y) сами
являются функциями аргументов x и y. От этих производных также
можно взять частные производные и получить производные второго
порядка:
∂
∂x
∂z
∂x
=
∂
2
z
∂x
2
= z
′′
xx
,
∂
∂y
∂z
∂x
=
∂
2
z
∂y∂x
= z
′′
y x
,
∂
∂x
∂z
∂y
=
∂
2
z
∂x∂y
= z
′′
xy
,
∂
∂y
∂z
∂y
=
∂
2
z
∂y
2
= z
′′
y y
.
Итак, в случае функции двух аргументов получили четыре част-
ных производных второго порядка z
′′
xx
, z
′′
xy
, z
′′
y x
, z
′′
y y
. От этих произ-
водных можно также взять частные производные и получить вос емь
производных третьего порядка z
′′′
xxx
, z
′′′
xxy
, z
′′′
y xx
, z
′′′
y xy
, z
′′′
xy x
, z
′′′
xy y
, z
′′′
y yx
,
z
′′′
y yy
. Частные производные высших порядков, в которые входит диф-
ференцирование по различным аргументам, называют смешанными.

Страницы