Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

44 4. Системы линейных уравнений
минора, назовём зависимыми, а остальные неизвестные — свободны-
ми. Перепишем систему, оставив слева члены, содержащие зависи-
мые переменные, а направо перенесём члены, содержащие свободные
неизвестные. Объявляем правые части новыми свободными членами.
В результате получаем систему, эквивалентную данной, состоящую
из r уравнений с r неизвестными, определитель которой отличен от
нуля.
Этап 4. Решаем полученную систему одним из способов, рассмот-
ренных в п. 4.3. В итоге мы найдём соотношения, выражающие зави-
симые переменные через свободные. Такие соотношения называются
общим решением системы. Всякое решение, которое получается из
общего при фиксированных значениях свободных неизвестных, на-
зывается частным.
Заметим, что если r
A
= r
C
= r < n (n — число неизвестных), то
система неопределённа, если же r
A
= r
C
= n, то система определён-
на.
Обычно, в случае m 6= n, применяют метод Гаусса, позволяю-
щий провести исследование системы и найти её общее решение. Всё
сказанное проиллюстрируем на примере.
Пример 4. Найдите общее и какое-нибудь частное решение систе-
мы
x
1
− 7x
2
− 3x
3
+ 4x
4
+ 2x
5
= −3,
2x
1
− 13x
2
− 4x
3
+ 5x
4
+ 5x
5
= −5,
x
1
− 6x
2
− x
3
+ x
4
+ 3x
5
= −2,
3x
1
− 20x
2
− 7x
3
+ 9x
4
+ 7x
5
= −8.
Записываем расширенную матрицу системы и, действуя только со
строками, приводим её к удобному для исследования виду
1 −7 −3 4 2 | −3
2 −13 −4 5 5 | −5
1 −6 −1 1 3 | −2
3 −20 −7 9 7 | −8
→
|
1 −7| −3 4 2 | −3
|0
1| 2 −3 1 | 1
0 1 2 −3 1 | 1
0 1 2 −3 1 | 1
. (б)
Первую строку, умноженную на 2, вычли из второй, из третьей стро-
ки вычли первую, а из четвёртой вычли первую, умноженную на 3.
Мы получили матрицу с тремя одинаковыми строками. В состав ба-
зисного минора может войти только одна из них, например, вторая.
Третью и четвёртую строки можно вычеркнуть из матрицы, не м е-
няя ее ранга. Видим, что ранг основной и расширенной матрицы
равен двум. Система совместна.
В качестве базисного минора матрицы (б) можно взять обведён-
ный минор. Соответствующий минор исходной матрицы расположен
в левом верхнем углу. Третье и четвертое уравнения, коэффициен-
ты которых не попали в состав выбранного базисного минора, мож-
но вычеркнуть из системы. Т.к. мы работали только со строками,

Страницы