Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

42 4. Системы линейных уравнений
По формуле (4.4) находим
"
x
1
x
2
x
3
#
=
"
3 −2 2
−4 3 −3
−11 9 −8
#
·
"
1
1
0
#
=
"
3 − 2
−4 + 3
−11 + 9
#
=
"
1
−1
−2
#
.
Мы нашли решение системы x
1
= 1, x
2
= −1, x
3
= −2.
Поскольку матрица A
−1
единственна, то данная система имеет
единственное решение, т.е. является определённой.
Способ 2. Применение формул Крамера. Матричное равенство
(4.4) запишем в развёрнутом виде
x
1
x
2
.
.
.
x
i
.
.
.
x
n
=
1
D
A
1
1
A
2
1
. . . . . . A
n
1
A
1
2
A
2
2
. . . . . . A
n
2
··· ··· ··· ··· ···
A
1
i
A
2
i
. . . . . . A
n
i
··· ··· ··· ··· ···
A
1
n
A
2
n
. . . . . . A
n
n
·
b
1
b
2
.
.
.
b
i
.
.
.
b
n
,
где A
k
i
есть алгебраическое дополнение элемента a
i
k
определителя
det A = D. По правилу умножения матриц (см. п. 1.5), записывая
покоординатно, находим
x
i
=
A
1
i
b
1
+ A
2
i
b
2
+ . . . + A
n
i
b
n
D
.
В числителе стоит разложение определителя D
i
по столбцу с но-
мером i; определитель D
i
получен из D заменой его i-го столб-
ца столбцом свободных членов. Следовательно, x
i
=
D
i
D
. Полагая
i = 1, 2, . . . , n, находим решение системы в виде
x
1
=
D
1
D
, x
2
=
D
2
D
, . . . , x
n
=
D
n
D
. (4.5)
Формулы (4.5) называют формулами Крамера.
Пример 2. Решить систему (а), применяя формулы Крамера.
Решение. Находим
D
1
=
1 2 0
1 −2 1
0 −5 1
=
1 2 0
0 −4 1
0 −5 1
= 1;
D
2
=
3 1 0
1 1 1
−3 0 1
=
3 1 0
−2 0 1
−3 0 1
= −1;

Страницы