Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

40 4. Системы линейных уравнений
Матрица A называется основной матрицей системы, а матрица
C =
a
1
1
a
1
2
. . . a
1
n
| b
1
a
2
1
a
2
2
. . . a
2
n
| b
2
··· ··· ··· ··· | ···
a
m
1
a
m
2
. . . a
m
n
| b
m
называется расширенной. Совокупность чисел (α
1
, α
2
, . . . , α
n
) назы-
вается решением системы, если она обращает все уравнения систе-
мы в тождества: a
j
i
α
i
≡ b
j
, i =
1, n, j = 1, m.
Система называется совместной, или непротиворечивой, если
она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет
решений.
Система называется определённой, если она имеет единственное
решение, и неопределённой, если решений более одного.
Основные задачи теории систем линейных уравнений:
1) установить, система совместна или нет;
2) если система совместна, то выяснить, определённая она или
нет;
3) если система определённая, то найти её единственное решение,
а если неопределённая, то описать совокупность всех решений .
Две системы линейных уравнений называются эквивалентными,
если любое решение первой из них является реш ением второй и на -
оборот.
В ходе решения систему приходится преобразовывать каким-либо
способом. При этом нужно следить за тем, чтобы в ходе преобразо-
вания получались системы, эквивалентные данной.
4.2. Теорема Кронекера-Капелли
(о совместности системы линейных уравнений)
Теорема 1. Система линейных уравнений совместна тогда и толь-
ко тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расши-
ренной матрицы.
Доказательство. Если r
A
= r
C
, то существует базисный минор,
общий для матриц A и C, в который не входит столбец свобод-
ных членов. По теореме о базисном миноре этот столбец является
линейной комбинацией остальных столбцов, т.е. существуют числа
(α
1
, α
2
, . . . , α
n
) такие, что a
j
i
α
i
= b
j
, следовательно, система совмест-
на и (α
1
, α
2
, . . . , α
n
) — её решение.
Обратно, если система совместна и (α
1
, α
2
, . . . , α
n
) — её реше-
ние, то столбец из свободных членов системы является линейной
комбинацией остальных столбцов (b
j
= a
j
i
α
i
), а потому его вычёрки-
вание из расширенной матрицы не изменит ранг. А так как после

Страницы