Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

38 3. Линейные пространства
Рассмотрим сначала случай, ко-
Рис. 3.1.
гда точки O и O
0
совпадают. Видим,
что i
0
= i cos α + j sin α, j
0
= −i sin α+
+j cos α,
Q =
cos α −sin α
sin α cos α
.
Связь между координатами (x, y)
и (x
0
, y
0
) выражается формулами
(3.18):
x
y
= Q
x
0
y
0
,
x
0
y
0
= Q
T
x
y
,
или
x = x
0
cos α −y
0
sin α,
y = x
0
sin α + y
0
cos α,
x
0
= x cos α + y sin α,
y
0
= −x sin α + y cos α.
(3.19)
Мы получили формулы преобра-
Рис. 3.2.
зования координат точки при пово-
роте осей координат на угол α.
Рассмотрим теперь параллель-
ный перенос системы коорд инат в
новое начало, т.е. случай, когда i
0
=
= i, j
0
= j, а точки O и O
0
различны
(рис. 3.2).
Пусть точка O
0
относительно си-
стемы координат XOY имеет коор-
динаты a и b, т.е. OO
0
= ai + bj.
Находим, что OM = xi + yj, O
0
M =
= x
0
i + y
0
j, но OM = OO
0
+ O
0
M,
т.е. xi + yj = (x
0
+ a)i + (y
0
+ b)j.
Отсюда
x = x
0
+ a,
y = y
0
+ b,
x
0
= x − a,
y
0
= y − b.
(3.20)
Мы получили формулы преобразования координат при парал-
лельном переносе.
В общем случае, совершая сначала параллельный перенос по
формулам (3.20), а затем поворот осей по формулам (3.19), получим
x = x
0
cos α −y
0
sin α + a,
y = x
0
sin α + y
0
cos α + b,
x
0
= (x − a) cos α + (y − b) sin α,
y
0
= −(x − a) sin α + (y − b) cos α.
Последние формулы устанавливают связь между новыми и стары-
ми координатами точки при переходе от одной декартовой системы
координат к другой.

Страницы