Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

36 3. Линейные пространства
Так как векторы f
1
, f
2
, . . . , f
n
линейно независимы, то матрица C
невырожденная, а потому существует обратная матрица C
−1
. Умно-
жая справа равенство (3.14) на матрицу C
−1
, получим
(e
1
, e
2
, . . . , e
n
) = (f
1
, f
2
, . . . , f
n
)C
−1
.
Пусть дан вектор x, причём
x =
n
X
i=1
ξ
i
e
i
; x =
n
X
j=1
η
j
f
j
.
Координаты ξ
i
будем называть старыми, а η
j
— новыми. Установим
связь между новыми и старыми координатами. Находим
n
X
j=1
η
j
f
j
=
n
X
j=1
η
j
n
X
i=1
c
i
j
e
i
=
n
X
i=1
n
X
j=1
η
j
c
i
j
e
i
=
n
X
i=1
ξ
i
e
i
(перестановка порядка суммирования возможна в силу конечности
числа слагаемых). Отсюда следует, что
ξ
i
=
n
X
j=1
c
i
j
η
j
, i = 1, 2, . . . , n. (3.15)
Соотношения (3.15) в матричной форме можно записать в виде
ξ
1
ξ
2
.
.
.
ξ
n
= C
η
1
η
2
.
.
.
η
n
. (3.16)
Из (3.16) находим, что
η
1
η
2
.
.
.
η
n
= C
−1
ξ
1
ξ
2
.
.
.
ξ
n
. (3.17)
Пусть в E
n
даны два ортонормированных базиса {e
i
} и {f
j
}. Мат-
рица Q перехода от одного ортонормированного базиса к другому
ортонормированному называется ортогональной. Сумма квадратов
элементов каждого её столбца равна единице как скалярное произ-
ведение векторов f
j
на себя, а сумма произведений соответствующих
элементов двух различных столбцов равна нулю как скалярное про-
изведение векторов f
i
и f
j
, i 6= j. Ортогональные матрицы обладают

Страницы