Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3.9. Формулы перехода 37
замечательным свойством: для них Q
−1
= Q
T
. Поэтому формулы
(3.16) и (3.17) принимают вид
ξ
1
ξ
2
.
.
.
ξ
n
= Q
η
1
η
2
.
.
.
η
n
,
η
1
η
2
.
.
.
η
n
= Q
T
ξ
1
ξ
2
.
.
.
ξ
n
. (3.18)
Пример 6. Пусть в R
3
относительно канонического базиса даны
четыре вектора f
1
= {1, 2, 3}, f
2
= {2, 3, 7}, f
3
= {1, 3, 1} x = (2, 3, 4).
Докажите, что векторы f
1
, f
2
, f
3
можно принять за новый базис.
Найдите координаты η
1
, η
2
, η
3
вектора x относительно этого базиса.
Решение. Записываем матрицу перехода C =
"
1 2 1
2 3 3
3 7 1
#
и на-
ходим её определитель |C| = 1 6= 0.
Видим, что ранг матрицы C равен трём. По следствию 7 из тео-
ремы о базисном миноре векторы f
1
, f
2
, f
3
линейно независимы, а
потому могут быть приняты в качестве базиса пространства R
3
. При-
меняя формулу (2.5), находим матрицу C
−1
(она существует, так как
матрица C невырожденная): C
−1
=
"
−18 5 3
7 −2 −1
5 −1 −1
#
.
По формуле (3.17) можно найти координаты вектора x относи-
тельно нового базиса:
η
1
η
2
η
3
=
"
−18 5 3
7 −2 −1
5 −1 −1
# "
2
3
4
#
=
"
−9
4
3
#
.
Замечание. Мы нашли закон преобразования при переходе к но-
вому базису координат векторов, являющихся матрицами размера
(n × 1). Векторы рассмотренных лине йных пространств являются
векторами этого типа. Вопроса преобразования координат векторов,
являющихся матрицами размера (1 × n), мы коснёмся в п. 6.6.
Часто требуется переходить от одной декартовой системы коор-
динат евклидова точечно-векторного пространства к другой. Полу-
чим закон изменения координат точки при таком переходе, ограни-
чиваясь случаем n = 2.
Пусть имеем две правые декартовы системы координат O, i, j и
O, i
0
, j
0
(рис. 3.1). Матрицу перехода от базиса (i, j) к базису (i
0
, j
0
)
обозначим Q =
q
1
1
q
1
2
q
2
1
q
2
2
, т.е. i
0
= q
1
1
i + q
2
1
j, j
0
= q
1
2
i + q
2
2
j. Первую
систему будем называть старой, а вторую — новой. Координаты точ-
ки относительно старой системы координат будем обозначать (x, y),
а относительно новой — (x
0
, y
0
).

Страницы