Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3.9. Формулы перехода 35
Возьмём любую точку O n-мерного евклидова точечно-
векторного пространства V
n
и присоединим к ней систему векто-
ров e
1
, e
2
, . . . , e
n
, образующих ортонормированный базис. Получен-
ная конструкция (O, e
1
, e
2
, . . . , e
n
) называется декартовой системой
координат (частный случай аффинной).
Координаты точки относительно декартова базиса называют де-
картовыми. Если даны две точки M(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) и N (y
1
, y
2
, . . . , y
n
)
своими декартовыми координатами, то, очевидно,
ρ(M
1
, M
2
) =
p
(x
1
− y
1
)
2
+ (x
2
− y
2
)
2
+ . . . + (x
n
− y
n
)
2
. (3.12)
В случае n = 2 декартову систему координат будем обозначать
(O, i, j), а при n = 3 — (O, i, j, k). Оси Oi, Oj, Ok получили специаль-
ные названия: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат соответственно,
или ось OX, OY , OZ.
Если поворот на кратчайший угол от вектора i к вектору j про-
исходит против часовой стрелки, то систему координат (O, i, j) на-
зывают правой, в противном случае – левой. Декартову систему ко-
ординат (O, i, j, k) называют правой, если с конца вектора k поворот
от вектора i к вектору j на кратчайший угол виден совершающимся
против часовой стрелки, и левой, если этот поворот происходит по
часовой стрелке.
3.9. Формулы перехода от одного базиса
к другому. Преобразование систем координат
Пусть в линейном пространстве R
n
даны два базиса:
(e
1
, e
2
, . . . , e
n
), условно называемый старым, и (f
1
, f
2
, . . . , f
n
),
называемый новым. Разложим векторы нового базиса по векторам
старого:
f
j
=
n
X
i=1
c
i
j
e
i
, j = 1, 2, . . . , n. (3.13)
Из чисел c
i
j
можно построить матрицу
C =
c
1
1
c
1
2
. . . c
1
n
c
2
1
c
2
2
. . . c
2
n
··· ··· ··· ···
c
n
1
c
n
2
. . . c
n
n
.
Матрица C называется матрицей перехода от старого базиса к
новому. Заметим, что в столбцах матрицы C записаны координаты
новых базисных векторов относительно старого базиса.
Соотношение (3.13) в м атричной форме условно можно записать
в виде
(f
1
, f
2
, . . . , f
n
) = (e
1
, e
2
, . . . , e
n
)C. (3.14)

Страницы