Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3.8. Аффинные пространства 33
От произвольного базиса a
1
, a
2
, . . . , a
n
линейного пространства
E
n
легко перейти к ортогональному b
1
, b
2
, . . . , b
n
, применяя процесс
ортогонализации, заключающийся в следующем. Положим b
1
= a
1
.
Вектор b
2
выберем в виде b
2
= α
1
b
1
+ a
2
. Так как b
1
= a
1
, а век-
торы a
1
и a
2
линейно независимы, то b
2
6= 0 при любом α
1
. Чис-
ло α
1
подберём так, чтобы вектор b
2
был ортогонален b
1
, т.е.
чтобы было (b
2
, b
1
) = 0. Это даёт α
1
(b
1
, b
1
) + (a
2
, b
1
) = 0. Отсюда
α
1
= −
(a
2
, b
1
)
(b
1
, b
1
)
.
Далее, положим b
3
= β
1
b
1
+ β
2
b
2
+ a
3
. Поскольку b
3
есть линей-
ная комбинация векторов a
1
, a
2
, a
3
, то b
3
6= 0 при любых β
1
и β
2
.
Числа β
1
и β
2
подберём так, чтобы вектор b
3
был ортогонален век-
торам b
1
и b
2
. Требуя это, получим β
1
= −
(a
3
, b
1
)
(b
1
, b
1
)
, β
2
= −
(a
3
, b
2
)
(b
2
, b
2
)
.
Продолжая этот процесс, через n шагов получим ортогональный
базис b
1
, b
2
, . . . , b
n
.
3.8. Аффинные и точечно-векторные евклидовы
пространства
При решении различного рода геометрических задач часто при-
меняется математическая структура — аффинное пространство, с
которым мы познакомимся в этом подразделе.
Пусть дано множество A элементов произвольной природы, кото-
рые мы будем называть точками, и линейное пространство R. Мно-
жество A предполагается таким, что каждой упорядоченной паре
точек M, N из A можно сопоставить единственный вектор x из R.
Упорядоченную пару точек (M, N ) будем называть вектором, обо-
значать MN, считать, что вектор MN соответствует вектору x и за-
писывать MN → x. При этом точка M называется началом, а точка
N — концом вектора MN. Векторы MN и PQ, которым соответству-
ет один и тот же вектор x, будем считать равными, отождествляя
их между собой, и обозначать MN = PQ.
Если MN → x, MK → αx, то полагаем MK = αMN. Если
MN → x, PQ → y, TB → (x + y), то полагаем TB = MN + PQ.
Таким образом, операции сложения “новых” векторов и умножения
вектора на число введены через соответствующие операции в про-
странстве R.
Закон соответствия пар точек из A и векторов из R предполага-
ется удовлетворяющим следующим двум условиям:
1) для любой точки M из A и любого вектора x из R существует
точка N из A такая, что MN → x;

Страницы