Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

32 3. Линейные пространства
Теорема 8. Для любых векторов x и y из E
n
справедливо нера-
венство
|(x, y)| ≤ |x||y|. (3.8)
Доказательство. Рассмотрим вектор λx − y, где λ — действи-
тельное число. При любом λ по свойству скалярного произведения
(λx − y, λx − y) ≥ 0.
Отсюда
λ
2
(x, x) − 2λ(x, y) + (y, y) ≥ 0. (3.9)
Квадратный трёхчлен в (3.9) не может иметь различных действи-
тельных корней, так как в противном случае он не сохранял бы знака
для всех значений λ. Поэтому дискриминант трёхчлена не положи-
телен, т.е. (x, y)
2
−(x, x)(y, y) ≤ 0 или (x, y)
2
≤ (x, x)(y, y). Извлекая
квадратный корень, приходим к (3.8).
Соотношение (3.8) называют неравенством Коши-Буняковского.
Из него следует, что −1 ≤
(x, y)
|x||y|
≤ 1.
Это даёт основание ввести понятие угла ϕ между ненулевыми
векторами соотношением cos ϕ =
(x, y)
|x||y|
.
Определение. Два ненулевых вектора x и y из E
n
называются
ортогональными, если (x, y) = 0.
Теорема 9. Всякая система ненулевых попарно ортогональных
векторов x
1
, x
2
, . . . , x
m
линейно независима (такая система векторов
называется ортогональной).
Доказательство. Предположим, что
c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ . . . + c
m
x
m
= 0. (3.10)
Умножим обе части этого равенства скалярно на вектор x
j
. По-
лучим c
j
(x
j
, x
j
) = 0. Так как (x
j
, x
j
) > 0, то c
j
= 0. Полагая
j = 1, 2, . . . , m, получаем, что (3.10) возможно только в случае
c
1
= c
2
= . . . = c
m
= 0, следовательно, векторы x
1
, x
2
, . . . , x
m
линей-
но независимы.
Определение. Базис линейного пространства E
n
называется орто-
гональным, если его векторы образуют ортогональную систему. Ба-
зис называется ортонормированным, если он ортогональный, а все
его векторы имеют длину, равную единице.
Если скалярное произведение в E
n
введено соотношением (3.7),
то векторы
e
1
= (1, 0, 0, . . . , 0);
e
2
= (0, 1, 0, . . . , 0);
··················;
e
n
= (0, 0, 0, . . . , 1)
образуют ортонормированный базис.

Страницы