ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
30 3. Линейные пространства
3.5. Изоморфизм линейных пространств
Мы уже отмечали, что после выбора базиса в n-мерном линей-
ном пространстве любой вектор можно задать в виде упорядоченной
совокупности n чисел, т.е. как вектор арифметического n-мерного
пространства. Таким образом, все линейные пространства одной раз-
мерности устроены одинаково. Этот факт лежит в основе понятия
изоморфизма линейных пространств.
Определение. Если между векторами линейных пространств R и
R
0
можно установить взаимно однозначное соответствие, при кото-
ром из x
1
∈ R → y
1
∈ R
0
, x
2
∈ R → y
2
∈ R
0
для любых α и β
следует, что αx
1
+ βx
2
→ αy
1
+ βy
2
, то говорят, что пространства R
и R
0
изоморфны, а само соответствие называется изоморфизмом.
Легко показать, что при изоморфизме нулевому вектору про-
странства R соответствует нулевой вектор из R
0
. Если векторы
x
1
, x
2
, . . . , x
k
из R линейно независимы, то и соответствующие им
векторы y
1
, y
2
, . . . , y
k
в R
0
также линейно независимы и наоборот.
Поэтому изоморфные пространства имеют одинаковую размерность.
Обратно, любые два n-мерных линейных пространства R и R
0
изо-
морфны, причём изоморфизмом будет соответствие, сопоставляю-
щее векторам из R векторы из R
0
с такими же координатами (отно-
сительно любых фиксированных базисов пространств R и R
0
). Таким
образом, любое линейное пространство R
n
изоморфно n - мерному
арифметическому линейному пространству, т.е. из всех конечномер-
ных линейных пространств достаточно изучить одно из них, напри-
мер, арифметическое пространство.
3.6. Подпространства
Пусть некоторая совокупность L векторов линейного простран-
ства R обладает свойством: любая линейная комбинация двух про-
извольных векторов из L принадлежит L. Тогда линейные операции
(сложения и умножения на число) над векторами, определе нные в
R, не выводят за пределы L. В этом случае говорят, что L замкну-
то относительно линейных операций из R. Поэтому множество L,
рассматриваемое в качестве самостоятельного объекта, с линейны-
ми операциями, определенными так же, как и в R, является линей-
ным пространством, которое называют подпространством линейного
пространства R.
Пусть имеем некоторую систему векторов x, y, z . . . из линей-
ного пространства R. Линейной оболочкой этой системы векторов
называется множество всех их линейных комбинаций (обозначается
L(x, y, z, . . .). Ясно, что линейная оболочка образует подпростран-
ство в R.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »
