ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3.4. Ранг матрицы 29
остальных: A
2
=
1 −1 2 3 4
0 3 −5 −4 −8
0 1 3 4 7
0 6 −10 −8 −16
0 −4 2 0 1
.
В матрице A
2
вторая и четвёртая строки пропорциональны, по-
этому вычёркивание одной из них не изменит ранга матрицы. Вы-
черкнем четвёртую строку. Пятая строка лишь знаком отличается
от суммы второй и третьей, а потому её также можно вычеркнуть,
не изменив ранга матрицы.
Приходим к матрице вида
A
3
=
− − −
|1 −1 2| 3 4
|0 3 −5| −4 −8
|0 1 3| 4 7
− − −
.
Так как обведённый минор третьего порядка отличен от нуля, то
rang A
3
= rang A = 3.
Пример 4. Докажите, что третья строка матрицы
A =
"
1 2 4
5 6 7
17 22 29
#
является линейной комбинацией первых двух строк. Найдите коэф-
фициенты этой комбинации.
Решение. Ранг матрицы A не меньше двух, так как её минор
1 2
5 6
6= 0. Вычислим
det A =
1 2 4
5 6 7
17 22 29
=
1 2 4
0 −4 −13
0 −12 −39
= 3·
1 2 4
0 −4 −13
0 −4 −13
= 0.
Отсюда следует, что ранг матрицы A равен двум и
1 2
5 6
— её
базисный минор. Третья строка по теореме о базисном миноре яв-
ляется лин ейной комбинацией первых двух. Обозначим коэффици-
енты этой комбинации через λ
1
и λ
2
. Тогда (17, 22, 29) = λ
1
(1, 2, 4)+
+λ
2
(5, 6, 7), следовательно:
(
λ
1
+ 5λ
2
= 17,
2λ
1
+ 6λ
2
= 22,
4λ
1
+ 7λ
2
= 29.
Решая систему, находим λ
1
= 2, λ
2
= 3.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- …
- следующая ›
- последняя »
