Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3.4. Ранг матрицы 27
Следствие 1. Если ранг r матрицы меньше числа её строк (столб-
цов), то её строки (столбцы) линейно зависимы. Если же число r
равно числу строк, то строки линейно независимы.
Следствие 2. Определитель det A равен нулю тогда и только то-
гда, когда строки (столбцы) матрицы A линейно зависимы или, что
то же, одна из её строк (столбцов) является линейной комбинацией
других.
Доказательство. Пусть det A = 0. Тогда ранг матрицы A меньше
n, а потому по следствию 1 её строки (столбцы) линейно зависимы.
С другой стороны, пусть строки определителя линейно зависимы,
т.е. одна из его строк является линейной комбинацией других, напри-
мер k-я строка является линейной комбинацией строк j
1
, j
2
, . . . , j
s
с коэффициентами λ
1
, λ
2
, . . . , λ
s
. Вычитая из k-й строки строку j
1
,
умноженную на λ
1
, строку j
2
, умноженную на λ
2
, . . . , строку j
s
,
умноженную на λ
s
, получим определитель, равный исходному, k-я
строка которого состоит только из нулей, но такой определитель ра-
вен нулю.
Следствие 3. Если к строке матрицы прибавить другую строку,
умноженную на некоторое число, то получим матрицу того же ранга.
Следствие 4. Если в матрице зачеркнуть строку, являющуюся
линейной комбинацией других строк, то получим матрицу того же
ранга.
Следствие 5. Векторы x
i
= (α
1
i
, α
2
i
, . . . , α
n
i
), i = 1, 2, . . . , m, ариф-
метического линейного пространства R
n
линейно зависимы, если
rang [α
j
i
] < m, j = 1, 2, . . . , n; i = 1, 2, . . . , m. Если же rang [α
j
i
] = m,
то векторы x
i
, i = 1, 2, . . . , m, линейно независимы.
Это перефразировка следствия 1.
Следствие 6. Арифметическое линейное пространство R
n
явля-
ется n-мерным.
Доказательство. Любая совокупность векторов
x
i
= (α
1
i
, α
2
i
, . . . , α
n
i
), i =
1, n + 1,
по следствию 5 линейно зависима, так как очевидно, что
rang [α
j
i
] < n + 1.
Совокупность векторов
e
1
= (1, 0, 0, . . . , 0)
e
2
= (0, 1, 0, . . . , 0)
··················
e
n
= (0, 0, 0, . . . , 1)
(3.6)

Страницы