Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

26 3. Линейные пространства
Другими словами, ранг матрицы — это наивысший порядок ми-
норов матрицы, отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы по опре-
делению полагается равным нулю.
Любой минор порядка r, отличный от нуля, матрицы ранга r на-
зывается базисным, а столбцы и строки, на пересечении которых на-
ходится этот минор, называются базисными. Матрица может иметь
несколько базисных миноров. Говорить о базисных строках и столб-
цах можно лишь после выбора базисного минора.
Теорема 6 (о базисном миноре). Любая строка (столбец) матрицы
является линейной комбинацией её базисных строк (столбцов).
Доказательство. Пусть матрица A размера (m × n) имеет ранг,
равный r, и её базисный минор расположен в верхнем левом углу.
Если это не так, то путём перестановок столбцов и строк можно ба-
зисный минор переместить в левый верхний угол, не изменяя ранга
матрицы, поскольку соответствующие миноры могут либо отлич ать-
ся знаками, либо совпадать. Пусть p и q — любые числа, удовлетво-
ряющие условиям 1 ≤ p ≤ m, 1 ≤ q ≤ n. Образуем определитель
D =
a
1
1
a
1
2
. . . a
1
r
a
1
q
a
2
1
a
2
2
. . . a
2
r
a
2
q
··· ··· ··· ··· ···
a
r
1
a
r
2
. . . a
r
r
a
r
q
a
p
1
a
p
2
. . . a
p
r
a
p
q
.
Этот определитель равен нулю: при p ≤ r как определитель, име-
ющий две одинаковые строки; при q ≤ r как определитель с двумя
одинаковыми столбцами, а при p > r и q > r как минор порядка
r + 1 матрицы ранга r. Разложим этот определитель по элементам
последней строки. Получим
a
p
1
A
p
1
+ a
p
2
A
p
2
+ . . . + a
p
r
A
p
r
+ a
p
q
A
p
q
= 0. (3.5)
Число A
p
q
6= 0, так как A
p
q
есть базисный минор матрицы. Числа
A
p
i
не зависят от выбора p, а число A
p
q
не зависит от значений p и
q. Обозначим λ
i
q
= −
A
p
i
A
p
q
. Тогда из (3.5) находим a
p
q
= λ
1
q
a
p
1
+ λ
2
q
a
p
2
+
+ . . . + λ
r
q
a
p
r
для p = 1, 2, . . . , m. Последнее и означает, что столбец с
номером q есть линейная комбинация базисных столбцов.
Аналогично, разлагая определитель D по элементам последнего
столбца, можно доказать, что строка с номером p является линейной
комбинацией базисных строк. Так как p и q произвольны, то теорема
доказана.
Следствиями теоремы о базисном миноре и теоремы 1 являются
следующие утверждения.

Страницы