ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3.4. Ранг матрицы 25
Так как векторы f
1
, f
2
, . . . , f
n
линейно независимы, то из (3.4) сле-
дует, что α
1
= β
1
, α
2
= β
2
, . . ., α
n
= β
n
. Теорема доказана.
Определение. Коэффициенты линейной комбинации, с помощью
которой вектор x выражается через базисные векторы, называются
координатами вектора x относительно данного базиса.
Таким образом, если f
1
, f
2
, . . . , f
n
— базис и x = x
1
f
1
+ x
2
f
2
+
+ . . . + x
n
f
n
, то числа x
1
, x
2
, . . . , x
n
являются координатами векто-
ра x относительно этого базиса. Пишут x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
).
Из теоремы 4 следует, что координаты для любого вектора x от-
носительно данного базиса существуют и определяются единствен-
ным образом.
Теорема 5. При сложении векторов их координаты относительно
одного и того же базиса складываются, а при умножении на число —
умножаются на это число.
Теорему предлагается доказать самостоятельно.
Из этой теоремы следует, что после выбора базиса в R
n
операции
сложения и умножения вектора на число совершаются по тем же
правилам, что и в арифметическом линейном пространстве.
3.4. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре
и её следствия
Для того чтобы определить, линейно зависима данная система
векторов или нет, применяется понятие ранга матрицы, к изучению
которого мы и переходим.
Пусть дана ненулевая матрица A размером (m × n)
A =
a
1
1
a
1
2
. . . a
1
n
a
2
1
a
2
2
. . . a
2
n
··· ··· ··· ···
a
m
1
a
m
2
. . . a
m
n
.
Её строки являются векторами арифметического линейного про-
странства R
n
, а столбцы — R
m
.
Выделим в этой матрице какие-либо k строк и k столбцов. Опре-
делитель матрицы, составленной из элементов, находящихся на их
пересечении, называется минором k-го порядка данной матрицы.
Определение. Число r называется рангом матрицы A, если:
1) в матрице A имеется минор порядка r, отличный от нуля;
2) все миноры порядка (r+1) и выше, если они существуют, равны
нулю.
Пишут rang A = r, или r
A
= r.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- …
- следующая ›
- последняя »
