Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3.2. Системы векторов 23
Решение. По правилу умножения вектора на число и сложения
векторов получаем: 2a = (2, 4, −4), 4b = (0, −4, 12), −3c = (6, −9, 12),
2a + 4b − 3c = (8, −9, 20).
3.2. Линейно зависимые и линейно независимые
системы векторов
Важными понятиями в теории линейных пространств являются
понятия линейной комбинации векторов, лин ейно зависимой и ли-
нейно независимой системы векторов.
Определение. Вектор b = λ
1
a
1
+ λ
2
a
2
+ . . . + λ
n
a
n
называется
линейной комбинацией векторов a
1
, a
2
, . . . , a
n
с коэффици ентами
λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
.
Определение. Система векторов a
1
, a
2
, . . . , a
n
называется линейно
зависимой, если существуют числа λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
, среди которых есть
отличные от нуля, такие, что имеет место равенство
λ
1
a
1
+ λ
2
a
2
+ . . . + λ
n
a
n
= 0. (3.1)
Если же соотношение (3.1) выполняется только в единствен-
ном случае, когда λ
1
= λ
2
= . . . = λ
n
= 0, то система векторов
a
1
, a
2
, . . . , a
n
называется линейно независимой.
Теорема 1. Для того чтобы система векторов a
1
, a
2
, . . . , a
n
была
линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один
из векторов был линейной комбинацией других.
Доказательство. Пусть система векторов a
1
, a
2
, . . . , a
n
линейно
зависима. Тогда имеет место соотношение (3.1), причём среди чисел
λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
есть не нули. Пусть, например, λ
1
6= 0. И з (3.1) находим
a
1
=
−
λ
2
λ
1
a
2
+
−
λ
3
λ
1
a
3
+. . .+
−
λ
n
λ
1
a
n
, т.е. вектор a
1
является
линейной комбинацией векторов a
2
, a
3
, . . . , a
n
.
Пус ть вектор a
1
— линейная комбинация векторов a
2
, a
3
, . . . , a
n
,
т.е. a
1
= λ
2
a
2
+ λ
3
a
3
+ . . . + λ
n
a
n
или (−1)a
1
+ λ
2
a
2
+ . . . + λ
n
a
n
= 0.
Так как среди чисел −1, λ
2
, . . . , λ
n
есть ненулевой (−1), то система
a
1
, a
2
, . . . , a
n
линейно зависима.
По доказанной теореме векторы a, b, c, d примера 1 из п. 3.1
линейно зависимы, так как вектор d является линейной комбинацией
векторов a, b, c.
Следующие теоремы предлагается доказать самостоятельно в ка-
честве упражнения.
Теорема 2. Всякая система векторов, содержащая нуль-вектор,
линейно зависима.

Страницы