Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3. Линейные пространства
В математике изучаются множества объектов произвольной при-
роды, над элементами которых установлены некоторые операции,
удовлетворяющие определённым правилам. Такие множества вме-
сте с введёнными операциями называют математическими струк-
турами. Мы познакомимся с одной из важнейших структур, часто
встречающейся в различных разделах математики и её приложени-
ях: структурой линейного пространства.
3.1. Определение линейного пространства
Определение. Множество R элементов произвольной природы,
впредь называемых векторами и обозначаемых x, y, z, . . ., называ-
ется линейным пространством, если:
1) имеется правило (внутренняя операция), позволяющее любым
двум элементам x и y из R сопоставить третий элемент z из R,
называемый суммой элементов x и y и обозначаемый x + y;
2) имеется правило (внешняя операция), позволяющее найти для
каждого действительного или комплексного числа α и любого эле-
мента x из R другой элемент y из R, называемый произведением x
на число α и обозначаемый αx.
При этом правила (операции) 1 и 2 должны удовлетворять сле-
дующим условиям (аксиомам):
1) x + y = y + x для любых x и y из R (закон коммутативности);
2) (x + y) + z = x + (y + z) для любых x, y, z из R (закон ассо-
циативности);
3) существует в R элемент 0 (нуль-вектор) такой, что x + 0 = x
для любого x из R;
4) для каждого x из R существует в R элемент y такой, что x+y =
= 0 (элемент y называется противоположным элементу x);
5) 1 ·x = x для любого x из R;
6) α(βx) = (αβ)x для любого x из R и любых действительных
чисел α и β;
7) (α + β)x = αx + βx для любых чисел α и β и любого x из R;
8) α(x + y) = αx + αy для любых x и y из R и любого числа α.
Исходя из определения линейного пространства, можно доказать,
что:
1) во всяком линейном пространстве имеется единственный нуле-
вой элемент;
2) для каждого элемента x имеется единственный противополож-
ный элемент y, который можно представить в виде y = (−1)x;
3) для всякого x из R выполняется 0 · x = 0.

Страницы