Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2.7. Обратная матрица 19
Матрицу A
∗
= [A
∗j
i
], где A
∗j
i
= A
i
j
, называют присоединённой
для матрицы A.
Доказательство единственности матрицы A
−1
опустим, проверим
лишь справедливость формулы (2.5). Через c
q
p
обозначим элементы
матрицы A ·B. По определению произведения матриц (см. формулу
(1.2)) находим
c
q
p
=
n
X
i=1
a
q
i
b
i
p
=
n
X
i=1
a
q
i
A
p
i
D
=
1
D
n
X
i=1
a
q
i
A
p
i
. (2.6)
В формуле (2.6) записана сумма произведений элементов стро-
ки с номером q определителя det A на алгебраические дополнения
соответствующих элементов строки с номером p. Если p 6= q, то по
теореме 3 из п. 2.6 эта сумма равна нулю, т.е. c
q
p
= 0 при p 6= q.
Если p = q, то по формуле (2.3) сумма (2.6) равна определителю
D = det A, следовательно, c
p
p
= 1. Таким образом:
c
q
p
=
0, если p 6= q,
1, если p = q,
т.е. матрица C = AB — единичная. Поэтому матрица B = [b
j
i
] явля-
ется обратной к A. Аналогично можно показать, что BA = E.
Пример 4. Найдите обратную матрицу, если A =
"
3 2 −1
2 2 4
2 2 5
#
.
Решение. Находим сначала определитель этой матрицы det A =
=
3 2 −1
2 2 4
2 2 5
=
3 2 −1
−1 0 5
−1 0 6
= 2(−1)
1+2
−1 5
−1 6
= 2 6= 0.
Матрица A невырожденная, а потому имеет обратную. Находим
элементы присоединённой матрицы A
∗
:
A
1
1
= 2, A
2
1
= −12, A
3
1
= 10,
A
1
2
= −2, A
2
2
= 17, A
3
2
= −14,
A
1
3
= 0, A
2
3
= −2, A
3
3
= 2.
Используя формулу (2.5), записываем обратную матрицу
A
−1
=
1 −6 5
−1
17
2
−7
0 −1 1
.
Для пр оверки правильности вычисления матрицы A
−1
нужно пере-
множить матрицы A и A
−1
. Если в результате получится единичная
матрица, то обратная матрица найдена верно.

Страницы