Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2.6. Понятия алгебраического дополнения 17
возможных произведений (n − 1) элементов определителя, взятых
по одному и только по одному из каждой строки и каждого столб-
ца, кроме первой строки и первого столбца, причем произведе-
ние a
α
2
2
· a
α
3
3
· . . . · a
α
n
n
берется со знаком (−1)
N(1,α
2
,α
3
,...,α
n
)
, где
N(1, α
2
, . . . , α
n
) — число инверсий в перестановке 1, α
2
, . . . , α
n
.
Эти же произведения, и только они, входят в разложе-
ние минора M
1
1
(как определителя порядка (n − 1)) со знаком
(−1)
N(1,α
2
−1,α
3
−1,...,α
n
−1)
, так как порядковые номера строк и столб-
цов в миноре M
1
1
меньше на единицу по сравнению с их номерами в
определителе D, но очевидно, что
N(1, α
2
, . . . , α
n
) = N(α
2
, α
3
, . . . , α
n
) = N(α
2
− 1, α
3
− 1, . . . , α
n
− 1).
Поэтому произведения a
α
2
2
· a
α
3
3
· . . . · a
α
n
n
входят в A
1
1
и M
1
1
c одина-
ковыми знаками.
Рассмотрим общий случай. Возьмем элемент a
j
i
определителя.
Переставляя (i − 1) раз столбцы и (j − 1) раз строки, переведем
этот элемент в левый верхний угол. В результате получим новый
определитель
˜
D, связанный со старым соотношением
˜
D = (−1)
i+j
D.
Поэтому
˜
A
1
1
= (−1)
i+j
A
j
i
. (Все обозначения с “волной” относятся к
определителю
˜
D.) Очевидно, M
j
i
=
˜
M
1
1
. На основании доказанного
(для случая i = j = 1)
˜
M
1
1
=
˜
A
1
1
. Поэтому M
j
i
= (−1)
i+j
A
i
j
или, что
то же самое, A
j
i
= (−1)
i+j
M
j
i
. Теорема доказана.
Теорема 2. Сумма произведений элементов какой-либо строки
(или столбца) матрицы на их алгебраические дополнения равна
определителю матрицы, т.е.
D = a
j
1
A
j
1
+ a
j
2
A
j
2
+ . . . + a
j
n
A
j
n
, (2.3)
j — фиксировано.
Доказательство. Каждый член определителя входит в сумму
(2.3) только один раз, так как каждый элемент из j-й строки вой-
дёт в какой-нибудь член определителя в качестве только одного из
сомножителей, т.е. сумма (2.3) состоит из тех же слагаемых, что и
определитель.
О соотношении (2.3) говорят, что определитель D разложен по
элементам j-й строки.
Теорема 3. Сумма всех произведений элементов строки (столбца)
на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой
строки (столбца) равна нулю.
Доказательство. Составим сумму s = a
j
1
A
i
1
+ a
j
2
A
i
2
+ . . . + a
j
n
A
i
n
произведений элементов j-й строки на алгебраически е дополнения
элементов i-й строки. Сумма s есть разложение по j-й строке опре-
делителя, у которого равны строки с номерами i и j.

Страницы