Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2.5. Свойства определителей 15
где через ˜a
β
i
α
j
обозначены элементы матрицы A
T
. Но a
α
j
β
i
= ˜a
β
i
α
j
по
определению транспонированной матрицы. Поэтому соответствую-
щие члены определителей det A и det A
T
равны между собой, а по-
тому справедливо равенство det A = det A
T
.
Из свойства 1 следует, что любое свойство, доказанное для строк,
справедливо и для столбцов (и наоборот).
Свойство 2. (Свойство антисимметрии). При перестановке двух
строк матрицы её определитель меняет знак.
Доказательство. Обозначим исходный определитель D
1
. Пере-
ставим в нём строки с номерами i и k. Полученный определитель
обозначим D
2
. Каждому члену
(−1)
s+t
a
α
1
β
1
a
α
2
β
2
···a
α
i
β
i
···a
α
k
β
k
···a
α
n
β
n
определителя D
1
поставим в соответствие член
(−1)
s
1
+t
a
α
1
β
1
a
α
2
β
2
···a
α
k
β
i
···a
α
i
β
k
···a
α
n
β
n
определителя D
2
. Это соответствие, очевидно, взаимно однозначно.
Так как a
α
k
β
i
= a
α
k
β
k
, a
α
i
β
i
= a
α
i
β
k
, а числа s и s
1
имеют противоположную
чётность, то соответствующие члены равны по модулю и отличаются
знаком, следовательно, D
1
= −D
2
.
Свойство 3. Определитель матрицы, име ющей две одинаковые
строки, равен нулю.
Действительно, переставив две одинаковые строки, с одной сто-
роны, мы ничего не изменим, т.е. D
1
= D
2
. С другой стороны, по
свойству 2 имеет место D
1
= −D
2
, следовательно, D
1
= −D
1
, а по-
тому D
1
= 0.
Свойство 4. (Линейное свойство.) Если все элементы i-й строки
матрицы A представлены в виде a
i
j
= λb
j
+ µc
j
, где j = 1, 2, . . . , n; i —
фиксировано, то det A = λ det B + µ det C, где матрица B получена
из A заменой i-й строки числами b
j
, а C — числами c
j
.
Доказательство. Каждый член определителя D будет содержать
единственный множитель вида (λb
j
+µc
j
). Раскрываем и группируем
произведения, содержащие λb
j
, и отдельно — содержащие µc
j
. После
вынесения множителя λ из первой группы и множителя µ из второй
группы получим требуемое.
Свойство 5. Если матрица
˜
A получена из матрицы A умножени-
ем всех её элементов i-й строки на число λ: ˜a
j
i
= λa
j
i
, j =
1, n, i —
фиксировано, то det
˜
A = λ det A.
Заметим, что det(λA) = λ
n
det A.
Справедливость свойства следует из свойства 4 при µ = 0.
Свойство 6. Определитель матрицы, содержащей две пропорци-
ональные строки, равен нулю.

Страницы