Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2.3. Определители второго порядка 13
ному и только по одному из каждой строки и каждого столбца:
a
α
1
β
1
a
α
2
β
2
···a
α
n
β
n
. (2.1)
Обозначим число инверсий в перестановке (α
1
, α
2
, . . . , α
n
) через s, а в
перестановке (β
1
, β
2
, . . . , β
n
) — через t. Заметим, ч то чётность числа
s + t не зависит от порядка сомножителей в этом произведении, так
как при перестановке двух сомножителей каждая из перестановок
(α
1
, α
2
, . . . , α
n
) и (β
1
, β
2
, . . . , β
n
) перейдёт в перестановку противопо-
ложной чётности.
Два произведения вида (2.1) будем считать совпадающими, если
они отличаются лишь порядком сомножителей, и различными, если
они отличаются хотя бы одним сомножителем. Ясно, что число раз-
личных произведений вида (2.1) равно n!, т.е. числу всевозможных
перестановок из чисел 1, 2, . . . , n.
Определение. Определителем, или детерминантом, квадратной
матрицы порядка n называется алгебраическая сумма n! всех воз-
можных различных произведений её элементов, взятых по одному и
только по одному из каждой строки и из каждого столбца, в которой
каждое произведение умножается на (−1)
s+t
, где s — число инвер-
сий в перестановке номеров строк, в которые входят сомножители,
а t — число инверсий в перестановке из номеров столбцов.
Обозначается определитель так:
D = det A =
a
1
1
a
1
2
. . . a
1
n
a
2
1
a
2
2
. . . a
2
n
. . . . . . . . . . . .
a
n
1
a
n
2
. . . a
n
n
=
X
(−1)
s+t
a
α
1
β
1
a
α
2
β
2
. . . a
α
n
β
n
.
Слагаемые этой суммы называются членами определителя, а числа
a
j
i
— его элементами.
Замечание. Как видим, определитель — это число. Если говорят
о строках или столбцах определителя, то имеют в виду строки или
столбцы матрицы, которой соответствует этот определитель.
2.3. Определители второго порядка
Из элементов квадратной матрицы второго порядка
A =
a
1
1
a
1
2
a
2
1
a
2
2
можно образовать всего два различных произведе-
ния a
1
1
a
2
2
и a
1
2
a
2
1
. Так как перестановка (1, 2) чётна, (2, 1) нечётна, то
D =
a
1
1
a
1
2
a
2
1
a
2
2
= a
1
1
a
2
2
− a
1
2
a
2
1
.

Страницы