Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2. Определители порядка n
2.1. Перестановки
Всякое расположение чисел 1, 2, . . . , n в некотором определённом
порядке называется перестановкой из n чисел.
Перестановку будем обозначать (α
1
, α
2
, . . . , α
n
). Здесь каждое из
α
k
(k = 1, 2, . . . , n) является одним из чисел 1, 2, . . . , n и среди α
k
нет
одинаковых. Число всевозможных перестановок из n чисел равно
n! = 1 · 2 · . . . · n.
Выберем в перестановке (α
1
, α
2
, . . . , α
n
) два числа α
i
, α
j
. Если
большее из чисел α
i
и α
j
расположено левее меньшего, то говорят,
что числа α
i
и α
j
образуют инверсию, или беспорядок. Перестановка
называется чётной, если в ней имеется ч ётное число инверсий, и
нечётной, если это число нечётно.
Например, перестановка (4,3,1,5,2) является чётной, так как в ней
6 инверсий: единица образует две инверсии (с четвёркой и тройкой),
двойка образует три инверсии (с четвёркой, тройкой и пятёркой),
тройка — одну инверсию (с четвёркой). После учёта предыдущих
инверсий числа 4 и 5 инверсий не образуют. Всего имеем 2+3+1=6
инверсий. Пе рестановка (3,4,1,5,2) нечётна. В ней имеются 5 инвер-
сий (подсчитайте самостоятельно).
Если в перестановке поменять местами два любых элемента, оста-
вив все остальные на месте, то получим новую перестановку. Это
преобразование перестановки называется транспозицией. Покажем,
что всякая транспозиция меняет чётность перестановки. Действи-
тельно, если переставили рядом стоящие элементы α
k
и α
k+1
, то
число инверсий изменится на единицу, т.е. перестановка из чётной
превратится в нечётную или наоборот. Переставить два элемента α
k
и α
k+m+1
, между которыми содержится m других элементов, мож-
но, совершив (2m + 1) перестановок рядом стоящих элементов. При
этом исходная перестановка изменит нечётное число раз свой харак-
тер, следовательно, перейдёт в перестановку из чётной в неч ётную
или из нечётной в чётную.
2.2. Понятие определителя порядка n
Пусть дана квадратная матрица порядка n:
A =
a
1
1
a
1
2
. . . a
1
n
a
2
1
a
2
2
. . . a
2
n
. . . . . . . . . . . .
a
n
1
a
n
2
. . . a
n
n
.
Рассмотрим произведение n элементов матрицы A, взятых по од-

Страницы