Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

10 1. Матрицы и действия над ними
всей продукции, поставленной заводом с номером q потребителю с
номером p. Матрица C в этом случае даёт полную информацию о
затратах всех заводов на доставку произведённой продукции потре-
бителям.
Пример 3. Найдите произведение матриц
A =
"
1 2 3 4
−1 3 −2 3
4 5 6 −3
#
и B =
1 2
−1 −2
2 3
4 −3
.
Решение. Размеры матриц A и B согласованы, так как число эле-
ментов в строке матрицы A равно числу элементов в столбце матри-
цы B. По формуле (1.2) находим
C =
"
1 2 3 4
−1 3 −2 3
4 5 6 −3
#
·
1 2
−1 −2
2 3
4 −3
=
=
"
1 · 1 − 2 · 1 + 3 · 2 + 4 · 4 1 ·2 −2 ·2 + 3 ·3 −3 ·4
−1 · 1 − 3 · 1 − 2 · 2 + 3 · 4 −1 ·2 −3 ·2 −2 ·3 −3 ·3
4 · 1 − 5 · 1 + 6 · 2 − 3 · 4 4 ·2 −5 ·2 + 6 ·3 + 3 ·3
#
=
=
"
21 −5
4 −23
−1 25
#
. Получили матрицу размером (3 × 2).
В рассмотренном примере произведение матриц B · A не опреде-
лено, так как размеры матриц B и A не с огласованы.
Из определения произведения матриц следует, что если размеры
матриц A, B и B, A согласованы, то в общем случае A · B 6= B · A.
Если же A — квадратная, а E — единичная того же порядка, что и
A, то, очевидно, A · E = E · A = A.
Можно доказать, что рассмотренные операции над матрицами
обладают свойствами:
(λ
1
λ
2
)A = λ
1
(λ
2
A),
(λ
1
+ λ
2
)A = λ
1
A + λ
2
A,
A + B = B + A,
λ
1
(A + B) = λ
1
A + λ
1
B,
A(BC) = (AB)C,
A(B + C) = AB + AC,
(A + B)C = AC + BC,
A(λ
1
B + λ
2
C) = λ
1
AB + λ
2
AC,
(λ
1
B + λ
2
C)A = λ
1
BA + λ
2
CA.
(1.3)
Свойства (1.3) справедливы для любых действительных чисел λ
1
и λ
2
и любых матриц A, B и C, для которых определены соответ-
ствующие операции.

Страницы