Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

16 2. Определители порядка n
Справедливость свойства 6 следует из свойств 3 и 5.
Свойство 7. Если к элементам одной из строк матрицы A при-
бавить соответствующие элементы другой строки, умноженной на
некоторое число, то получим матрицу с тем же определителем.
Доказательство. Вновь полученный определитель по свойству
4 можно представить в виде суммы двух определителей, первый из
которых будет исходным, а второй равен нулю, так как две строки
его пропорциональны.
Свойство 8. Если все элементы некоторой строки матрицы равны
нулю, то её определитель равен нулю.
Справедливость свойства следует из определения определителя.
Свойство 9. Определитель произведения двух квадратных мат-
риц равен произведению определителей этих матриц:
det(A ·B) = det A · det B.
Предлагается проверить справедливость этой формулы для опре-
делителей второго порядка самостоятельно.
2.6. Понятия алгебраического дополнения
и минора и связь между ними
Возьмём какой-нибудь элемент a
j
i
матрицы, составим сумму всех
тех членов определителя, в которые входит этот элемент в качестве
сомножителя, и вынесем его за скобки. Выражение, оставшееся в
скобках, называется алгебраическим дополнением элемента a
j
i
и обо-
значается A
j
i
.
Дан определитель матрицы порядка n. Определитель матрицы
(n − 1) порядка, полученной из данной вычёркиванием её строки с
номером j и столбца с номером i, называется минором (n−1) порядка
и обозначается M
j
i
.
Для определителя третьего порядка можем записать
D = a
1
1
(a
2
2
a
3
3
− a
2
3
a
3
2
) + a
1
2
(a
2
3
a
3
1
− a
2
1
a
3
3
) + a
1
3
(a
2
1
a
3
2
− a
2
2
a
3
1
).
Поэтому A
1
1
= (a
2
2
a
3
3
− a
2
3
a
3
2
) = M
1
1
, A
1
2
= (a
2
3
a
3
1
− a
2
1
a
3
3
) = −M
1
2
,
A
1
3
= (a
2
1
a
3
2
− a
2
2
a
3
1
) = M
1
3
.
Следовательно, для определителя третьего порядка имеет место
D = a
1
1
M
1
1
− a
1
2
M
1
2
+ a
1
3
M
1
3
.
Теорема 1. Алгебраическое дополнение A
j
i
и минор M
j
i
связаны
соотношением
A
j
i
= (−1)
i+j
M
j
i
. (2.2)
Доказательство. Докажем сначала утверждение для случая
i = j = 1. Алгебраическое дополнение A
1
1
представляет сумму всех

Страницы