Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

20 2. Определители порядка n
2.8. Решение матричных уравнений
Пусть матрица A невырожденная. Найдём матрицы X и Y из
уравнений
AX = B; (2.7)
Y A = B. (2.8)
Так как матрица A невырожденная, то существует обратная мат-
рица A
−1
. Умножим слева обе части матричного равенства (2.7) на
матрицу A
−1
.
Получим
A
−1
(AX) = A
−1
B, (A
−1
A)X = A
−1
B,
EX = A
−1
B, X = A
−1
B.
Аналогично из равенства (2.8) находим
Y = BA
−1
.
Заметим, что в силу некоммутативности операции умножения
матриц решения матричных уравнений (2.7) и (2.8) различны. Ес-
ли матрица A невырожденная, то каждое из этих уравнений имеет
единственное решение.
Пример 5. Дано матричное уравнение AX = B, где
A =
"
3 4 −3
2 3 −5
0 0 1
#
; B =
"
4 −4 10
0 −6 10
1 1 −1
#
.
Найдите матрицу X.
Решение. Находим det A = 1 6= 0. Так как матрица A невырож-
денная, то X = A
−1
B.
Для отыскания A
−1
находим элементы присоединённой матрицы:
A
1
1
= 3, A
2
1
= −4, A
3
1
= −11,
A
1
2
= −2, A
2
2
= 3, A
3
2
= 9,
A
1
3
= 0, A
2
3
= 0, A
3
3
= 1.
A
−1
=
"
3 −4 −11
−2 3 9
0 0 1
#
;
X =
"
3 −4 −11
−2 3 9
0 0 1
#
·
"
4 −4 10
0 −6 10
1 1 −1
#
=
"
1 1 1
1 −1 1
1 1 −1
#
.
Предлагаем самостоятельно убедиться в правильности решения,
найдя произведение матриц A и X. В результате должна получиться
матрица B.

Страницы