Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

22 3. Линейные пространства
Докажем, например, утверждение 1). Предположим, что в R
существуют два нуль-вектора 0
1
и 0
2
. Положив в третьей аксио-
ме определения линейного пространства x = 0
1
, 0 = 0
2
, получим
0
1
+ 0
2
= 0
1
. Если же положить x = 0
2
, 0 = 0
1
, то 0
2
+ 0
1
= 0
2
. Но
по первой аксиоме справедливо 0
1
+ 0
2
= 0
2
+ 0
1
, т.е. 0
1
= 0
2
.
С одним из примеров линейных пространств вы уже знакомы.
Это множество векторов, которое изучено в средней школе. Выпол-
нимость аксиом 1 — 8 там установлена. Линейным пространство м
является множество всех действительных чисел с операциями сло-
жения и умножения (заметим, что аксиомы 7 и 8 при этом совпада-
ют). Линейное пространство образует также множество всех матриц
одного и того же размера с операциями сложения матриц и умноже-
ния матрицы на число, определёнными в пп. 1.3 и 1.4. Все аксиомы
1 — 8 при этом выполнены, так как они справедливы для чисел.
Наиболее часто применяются линейные пространства, элемента-
ми которых являются матрицы размером (n × 1), либо (1 × n). Эти
линейные пространства называют арифметическими и обозначают
R
n
, либо R
n
. В линейном арифметическом пространстве R
n
матриц
размером (n × 1) вектором является столбец
α
1
α
2
.
.
.
α
n
= (α
1
, α
2
, . . . , α
n
)
T
,
а в арифметическом пространстве R
n
матриц размером (1 × n) век-
тором является строка (α
1
, α
2
, . . . , α
n
). Над векторами-столбцами и
векторами-строками вводят операции сложения и умножения на чис-
ло, как над соответствующими матрицами, т.е. если
a = (α
1
, α
2
, . . . , α
n
), b = (β
1
, β
2
, . . . , β
n
),
то
a + b = (α
1
+ β
1
, α
2
+ β
2
, . . . , α
n
+ β
n
),
λa = (λα
1
, λα
2
, . . . , λα
n
).
Вектор (0, 0, . . . , 0) обозначают 0 и называют нулевым.
Векторы-строки и векторы-столбцы, как мы увидим позднее, от-
личаются тем, что преобразуются по разным законам при переходе
от одной системы координат к другой. В вопросах же, не связанных
с преобразованием систем координат, мы их различать не будем и
для краткости те и другие будем записывать в виде строки, опуская
знак транспонирования, и обозначать R
n
или R
n
.
Пример 1. В арифметическом линейном пространстве R
3
да-
но три вектора a = (1, 2, −2), b = (0, −1, 3), c = (−2, 3, −4). Найдите
вектор d = 2a + 4b − 3c.

Страницы