Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

24 3. Линейные пространства
Теорема 3. Всякая система векторов, содержащая линейно зави-
симую подсистему, линейно зависима.
3.3. Размерность линейных пространств. Базис
и координаты
Определение. Линейное пространство называется n-мерным, если
в нём существует система из n линейно независимых векторов, а
любая система, состоящая из (n + 1) векторов, линейно зависима.
Если в линейном пространстве существует бесконечная система
линейно независимых векторов, то пространство называется беско-
нечномерным. Мы в данном разделе будем изучать лишь конечно-
мерные линейные пространства размерности n и обозначать их R
n
(либо R
n
).
Определение. Любая линейно независимая система, состоящая из
n векторов n-мерного линейного пространства R
n
, называется ба-
зисом этого пространства, а входящие в него векторы называются
базисными.
Теорема 4. Любой вектор линейного пространства R
n
можно
представить, и притом единственным образом, в виде линейной ком-
бинации базисных векторов фиксированного базиса.
Доказательство. Пусть f
1
, f
2
, . . . , f
n
— какой-либо базис R
n
и
x — произвольный вектор этого пространства. Система векторов
x, f
1
, f
2
, . . . , f
n
, как система, состоящая из (n + 1) векторов n-мерного
пространства, линейно зависима, а п отому найдутся такие числа
λ
0
, λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
, среди которых есть отлич ные от нуля, что име-
ет место равенство
λ
0
x + λ
1
f
1
+ λ
2
f
2
+ . . . + λ
n
f
n
= 0. (3.2)
Число λ
0
6= 0, так как в противном случае векторы f
1
, f
2
, . . . , f
n
были бы линейно зависимы, что невозможно, поскольку они образу-
ют базис. Поэтому из (3.2) следует
x =
−
λ
1
λ
0
f
1
+
−
λ
2
λ
0
f
2
+ . . . +
−
λ
n
λ
0
f
n
, (3.3)
т.е. вектор x является линейной комбинацией векторов f
1
, f
2
, . . . , f
n
.
Докажем единственность линейной комбинации (3.3). Предположим,
что x представлен двумя линейными комбинациями вида
x = α
1
f
1
+ α
2
f
2
+ . . . + α
n
f
n
,
x = β
1
f
1
+ β
2
f
2
+ . . . + β
n
f
n
.
Вычитая второе равенство из п ервого, получим
(α
1
− β
1
)f
1
+ (α
2
− β
2
)f
2
+ . . . + (α
n
− β
n
)f
n
= 0. (3.4)

Страницы