ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
28 3. Линейные пространства
линейно независима также по следствию 5, так как
rang
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
··· ··· ··· ···
0 0 . . . 1
= n.
Таким образом, в арифметическом пространстве R
n
имеется ли-
нейно независимая система, состоящая из n векторов, а любая си-
стема из (n + 1) векторов линейно зависима, т.е. арифметическое
пространство R
n
n-мерно.
Совокупность векторов (3.6) образует базис в R
n
. Этот базис на-
зывают каноническим.
Следствие 5 легко распространить на любые n-мерные линейные
пространства.
Следствие 7. Векторы x
1
, x
2
, . . . , x
m
линейного пространства R
n
линейно зависимы тогда и только тогда, когда ранг r матрицы, в
строках которой записаны координаты этих векторов относительно
любого базиса, меньше m. Необходимым и достаточным условием их
линейной независимости является равенство r = m.
Приведём несколько примеров практического отыскания ранга
матрицы.
Пример 2. Найдите ранг следующих матриц:
A =
− − − −
|1 2 4 −5| 6
|0 2 −3 5| 4
|0 0 1 4| 5
|0 0 0 2| 7
− − − −
; B =
− − − −
2 |1 4 5 7|
3 |4 3 1 0|
4 |5 2 0 0|
5 |7 0 0 0|
− − − −
.
Решение. Ранг каждой из этих матриц не может быть больше
четырёх, так как в этих матрицах по четыре строки, и не может быть
меньше четырёх, так как обведённые миноры четвёртого порядка не
равны нулю. Поэтому r
A
= r
B
= 4.
Применяя следствия 3 и 4, всегда можно преобразовать матрицу,
не меняя её ранга так, чтобы легко было увидеть базисный минор и
тем самым определить ранг матрицы.
Пример 3. Найдите ранг матрицы
A=
1 −1 2 3 4
2 1 −1 2 0
−1 2 1 1 3
1 5 −8 −5 −12
3 −7 8 9 13
.
Решение. Получим в первом столбце матрицы A нули, вычитая
первую её строку, умноженную на соответствующие числа, из всех
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- …
- следующая ›
- последняя »
